Номер 622, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Глава 7. Комплексные числа - номер 622, страница 237.
№622 (с. 237)
Условие. №622 (с. 237)
скриншот условия

622. Доказать, что система уравнений $ \begin{cases} |z+1-i|=\sqrt{2}, \\ |z|=3 \end{cases} $ не имеет решений.
Решение 1. №622 (с. 237)

Решение 2. №622 (с. 237)

Решение 3. №622 (с. 237)
Для доказательства того, что данная система уравнений не имеет решений, можно использовать два подхода: алгебраический и геометрический.
Способ 1: Алгебраический
Представим комплексное число z в алгебраической форме: z = x + yi, где x и y – действительные числа.
Первое уравнение системы $|z| = 3$ преобразуется к виду:
$|x + yi| = 3$
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$
$x^2 + y^2 = 9$
Второе уравнение системы $|z + 1 - i| = \sqrt{2}$ преобразуется к виду:
$|(x + yi) + 1 - i| = \sqrt{2}$
$|(x + 1) + (y - 1)i| = \sqrt{2}$
$\sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}$
$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 2$
Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя действительными переменными x и y:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ (x+1)^2 + (y-1)^2 = 2 \end{cases}$
Раскроем скобки во втором уравнении:
$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2$
$(x^2 + y^2) + 2x - 2y + 2 = 2$
Подставим в это уравнение значение $x^2 + y^2 = 9$ из первого уравнения:
$9 + 2x - 2y + 2 = 2$
$11 + 2x - 2y = 2$
$2x - 2y = -9$
Выразим x через y:
$x = y - \frac{9}{2}$
Теперь подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 9$:
$(y - \frac{9}{2})^2 + y^2 = 9$
$y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{9}{2} + (\frac{9}{2})^2 + y^2 = 9$
$y^2 - 9y + \frac{81}{4} + y^2 = 9$
$2y^2 - 9y + \frac{81}{4} - \frac{36}{4} = 0$
$2y^2 - 9y + \frac{45}{4} = 0$
Чтобы найти решения для y, вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения ($a=2, b=-9, c=\frac{45}{4}$):
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{45}{4} = 81 - 8 \cdot \frac{45}{4} = 81 - 2 \cdot 45 = 81 - 90 = -9$
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных решений для y. Это означает, что не существует таких действительных чисел x и y, которые бы удовлетворяли системе. Следовательно, исходная система уравнений для комплексного числа z не имеет решений.
Ответ: Так как система уравнений для действительной и мнимой частей числа z не имеет решений, то и исходная система уравнений не имеет решений.
Способ 2: Геометрический
Рассмотрим уравнения системы с геометрической точки зрения на комплексной плоскости.
Уравнение $|z| = 3$, которое можно записать как $|z - 0| = 3$, задает множество точек z, расстояние от которых до начала координат $O(0, 0)$ равно 3. Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R_1 = 3$.
Уравнение $|z + 1 - i| = \sqrt{2}$ можно переписать в виде $|z - (-1 + i)| = \sqrt{2}$. Оно задает множество точек z, расстояние от которых до точки $z_0 = -1 + i$ (то есть до точки $C(-1, 1)$ на комплексной плоскости) равно $\sqrt{2}$. Это окружность с центром в точке $C(-1, 1)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{2}$.
Решение системы существует тогда и только тогда, когда эти две окружности имеют хотя бы одну общую точку, то есть пересекаются или касаются.
Найдем расстояние d между центрами окружностей $O(0, 0)$ и $C(-1, 1)$:
$d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
Две окружности пересекаются или касаются, если расстояние между их центрами d удовлетворяет условию: $|R_1 - R_2| \le d \le R_1 + R_2$.
В нашем случае $R_1 = 3$, $R_2 = \sqrt{2}$ и $d = \sqrt{2}$.
Проверим это условие:
$|3 - \sqrt{2}| \le \sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$
$3 - \sqrt{2} \le \sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$
Правая часть неравенства, $\sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$, очевидно верна, так как $0 \le 3$.
Проверим левую часть: $3 - \sqrt{2} \le \sqrt{2}$.
Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть:
$3 \le 2\sqrt{2}$
Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:
$3^2 \le (2\sqrt{2})^2$
$9 \le 4 \cdot 2$
$9 \le 8$
Это неравенство ложно. Поскольку условие пересечения окружностей не выполняется (в частности, $d < |R_1 - R_2|$), окружности не имеют общих точек. Это означает, что меньшая окружность (с радиусом $R_2$) полностью находится внутри большей (с радиусом $R_1$) и не касается ее.
Ответ: Так как геометрические образы уравнений, две окружности, не пересекаются, система не имеет решений.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 622 расположенного на странице 237 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №622 (с. 237), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.