Номер 622, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа - номер 622, страница 237.

Условие.

622. Доказать, что система уравнений $ \begin{cases} |z+1-i|=\sqrt{2}, \\ |z|=3 \end{cases} $ не имеет решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что данная система уравнений не имеет решений, можно использовать два подхода: алгебраический и геометрический.

Способ 1: Алгебраический

Представим комплексное число z в алгебраической форме: z = x + yi, где x и y – действительные числа.

Первое уравнение системы $|z| = 3$ преобразуется к виду:

$|x + yi| = 3$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$

$x^2 + y^2 = 9$

Второе уравнение системы $|z + 1 - i| = \sqrt{2}$ преобразуется к виду:

$|(x + yi) + 1 - i| = \sqrt{2}$

$|(x + 1) + (y - 1)i| = \sqrt{2}$

$\sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}$

$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 2$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя действительными переменными x и y:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ (x+1)^2 + (y-1)^2 = 2 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2$

$(x^2 + y^2) + 2x - 2y + 2 = 2$

Подставим в это уравнение значение $x^2 + y^2 = 9$ из первого уравнения:

$9 + 2x - 2y + 2 = 2$

$11 + 2x - 2y = 2$

$2x - 2y = -9$

Выразим x через y:

$x = y - \frac{9}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 9$:

$(y - \frac{9}{2})^2 + y^2 = 9$

$y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{9}{2} + (\frac{9}{2})^2 + y^2 = 9$

$y^2 - 9y + \frac{81}{4} + y^2 = 9$

$2y^2 - 9y + \frac{81}{4} - \frac{36}{4} = 0$

$2y^2 - 9y + \frac{45}{4} = 0$

Чтобы найти решения для y, вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения ($a=2, b=-9, c=\frac{45}{4}$):

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{45}{4} = 81 - 8 \cdot \frac{45}{4} = 81 - 2 \cdot 45 = 81 - 90 = -9$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных решений для y. Это означает, что не существует таких действительных чисел x и y, которые бы удовлетворяли системе. Следовательно, исходная система уравнений для комплексного числа z не имеет решений.

Ответ: Так как система уравнений для действительной и мнимой частей числа z не имеет решений, то и исходная система уравнений не имеет решений.

---

Способ 2: Геометрический

Рассмотрим уравнения системы с геометрической точки зрения на комплексной плоскости.

Уравнение $|z| = 3$, которое можно записать как $|z - 0| = 3$, задает множество точек z, расстояние от которых до начала координат $O(0, 0)$ равно 3. Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R_1 = 3$.

Уравнение $|z + 1 - i| = \sqrt{2}$ можно переписать в виде $|z - (-1 + i)| = \sqrt{2}$. Оно задает множество точек z, расстояние от которых до точки $z_0 = -1 + i$ (то есть до точки $C(-1, 1)$ на комплексной плоскости) равно $\sqrt{2}$. Это окружность с центром в точке $C(-1, 1)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{2}$.

Решение системы существует тогда и только тогда, когда эти две окружности имеют хотя бы одну общую точку, то есть пересекаются или касаются.

Найдем расстояние d между центрами окружностей $O(0, 0)$ и $C(-1, 1)$:

$d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Две окружности пересекаются или касаются, если расстояние между их центрами d удовлетворяет условию: $|R_1 - R_2| \le d \le R_1 + R_2$.

В нашем случае $R_1 = 3$, $R_2 = \sqrt{2}$ и $d = \sqrt{2}$.

Проверим это условие:

$|3 - \sqrt{2}| \le \sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$

$3 - \sqrt{2} \le \sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$

Правая часть неравенства, $\sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$, очевидно верна, так как $0 \le 3$.

Проверим левую часть: $3 - \sqrt{2} \le \sqrt{2}$.

Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть:

$3 \le 2\sqrt{2}$

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$3^2 \le (2\sqrt{2})^2$

$9 \le 4 \cdot 2$

$9 \le 8$

Это неравенство ложно. Поскольку условие пересечения окружностей не выполняется (в частности, $d < |R_1 - R_2|$), окружности не имеют общих точек. Это означает, что меньшая окружность (с радиусом $R_2$) полностью находится внутри большей (с радиусом $R_1$) и не касается ее.

Ответ: Так как геометрические образы уравнений, две окружности, не пересекаются, система не имеет решений.