Номер 627, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа - номер 627, страница 239.

Условие.

627. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $\cos \frac{\pi}{9} - i \sin \frac{\pi}{9};$

2) $12\left(-\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}\right);$

3) $\sqrt{2}\left(-\cos \frac{\pi}{7} - i \sin \frac{\pi}{7}\right);$

4) $3\left(\sin \frac{\pi}{5} + i \cos \frac{\pi}{5}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль комплексного числа ($r \ge 0$), а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.

1)

Дано комплексное число $z = \cos\frac{\pi}{9} - i\sin\frac{\pi}{9}$.

Найдем модуль числа: $r = \sqrt{(\cos\frac{\pi}{9})^2 + (-\sin\frac{\pi}{9})^2} = \sqrt{\cos^2\frac{\pi}{9} + \sin^2\frac{\pi}{9}} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем аргумент $\varphi$. Он должен удовлетворять условиям: $\cos\varphi = \cos\frac{\pi}{9}$ и $\sin\varphi = -\sin\frac{\pi}{9}$.

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:

$\cos(-\frac{\pi}{9}) = \cos\frac{\pi}{9}$

$\sin(-\frac{\pi}{9}) = -\sin\frac{\pi}{9}$

Следовательно, искомый аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{9}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9}))$.

Ответ: $\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9})$

2)

Дано комплексное число $z = 12(-\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8})$.

Модуль числа $r = 12$. Аргумент $\varphi$ должен удовлетворять условиям $\cos\varphi = -\cos\frac{\pi}{8}$ и $\sin\varphi = \sin\frac{\pi}{8}$. Это соответствует углу во второй координатной четверти.

Используем формулы приведения для угла $(\pi - \alpha)$: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$.

При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем аргумент $\varphi = \pi - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{8}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 12(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8})$.

Ответ: $12(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8})$

3)

Дано комплексное число $z = \sqrt{2}(-\cos\frac{\pi}{7} - i\sin\frac{\pi}{7})$.

Модуль числа $r=\sqrt{2}$. Аргумент $\varphi$ должен удовлетворять условиям $\cos\varphi = -\cos\frac{\pi}{7}$ и $\sin\varphi = -\sin\frac{\pi}{7}$. Отрицательные значения косинуса и синуса соответствуют углу в третьей координатной четверти.

Используем формулы приведения для угла $(\pi + \alpha)$: $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$.

При $\alpha = \frac{\pi}{7}$ получаем аргумент $\varphi = \pi + \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi}{7}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = \sqrt{2}(\cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7})$.

Ответ: $\sqrt{2}(\cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7})$

4)

Дано комплексное число $z = 3(\sin\frac{\pi}{5} + i\cos\frac{\pi}{5})$.

Модуль числа $r=3$. Аргумент $\varphi$ должен удовлетворять условиям $\cos\varphi = \sin\frac{\pi}{5}$ и $\sin\varphi = \cos\frac{\pi}{5}$.

Используем формулы приведения для дополнительных углов: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$.

При $\alpha = \frac{\pi}{5}$ получаем аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi - 2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos\frac{3\pi}{10} + i\sin\frac{3\pi}{10})$.

Ответ: $3(\cos\frac{3\pi}{10} + i\sin\frac{3\pi}{10})$