Номер 629, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа - номер 629, страница 239.

Условие.

629. Представить в тригонометрической форме комплексное число:

1) $\frac{5 - i}{2 - 3i}$;

2) $\frac{i}{(1+i)^2}$;

3) $\frac{1+\sqrt{3}i}{i^3}$;

4) $\frac{(1+i)(2+i^5)}{3-i^{13}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы представить комплексное число $z = \frac{5 - i}{2 - 3i}$ в тригонометрической форме, сначала приведем его к алгебраической форме $z = a + bi$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное число для $2 - 3i$ — это $2 + 3i$.

$z = \frac{5 - i}{2 - 3i} = \frac{(5 - i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} = \frac{5 \cdot 2 + 5 \cdot 3i - i \cdot 2 - i \cdot 3i}{2^2 - (3i)^2}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе, учитывая, что $i^2 = -1$:

$z = \frac{10 + 15i - 2i - 3i^2}{4 - 9i^2} = \frac{10 + 13i - 3(-1)}{4 - 9(-1)} = \frac{10 + 13i + 3}{4 + 9} = \frac{13 + 13i}{13} = 1 + i$.

Итак, мы получили число в алгебраической форме $z = 1 + i$, где действительная часть $a=1$ и мнимая часть $b=1$.

Теперь найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$ этого комплексного числа.

Модуль $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент $\varphi$ определяется из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как косинус и синус положительны, угол $\varphi$ находится в первой четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма комплексного числа: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. Подставляя найденные значения, получаем:

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

2)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{i}{(1 + i)^2}$. Сначала упростим выражение, приведя его к форме $a + bi$.

Возведем в квадрат знаменатель: $(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$z = \frac{i}{2i} = \frac{1}{2}$.

Полученное число является действительным, его можно записать в алгебраической форме как $z = \frac{1}{2} + 0i$. Здесь $a = \frac{1}{2}$ и $b=0$.

Найдем модуль и аргумент.

Модуль $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{1/2}{1/2} = 1$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{1/2} = 0$

Этим условиям соответствует угол $\varphi = 0$.

Запишем число в тригонометрической форме:

$z = \frac{1}{2}(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 0 + i \sin 0)$.

3)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{i^3}$. Упростим его до вида $a+bi$.

Найдем значение $i^3$: $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.

Подставим в выражение: $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{-i}$.

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$z = \frac{(1 + \sqrt{3}i) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i + \sqrt{3}i^2}{-i^2} = \frac{i - \sqrt{3}}{-(-1)} = i - \sqrt{3}$.

В алгебраической форме $z = -\sqrt{3} + i$. Здесь $a = -\sqrt{3}$ и $b = 1$.

Найдем модуль и аргумент.

Модуль $r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{2}$

Так как косинус отрицателен, а синус положителен, угол $\varphi$ находится во второй четверти. Соответствующий угол равен $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Запишем число в тригонометрической форме:

$z = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})$.

4)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{(1 + i)(2 + i^5)}{3 - i^{13}}$. Сначала упростим степени мнимой единицы $i$.

Степени $i$ повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$.

$i^5 = i^{4 \cdot 1 + 1} = i^1 = i$.

$i^{13} = i^{4 \cdot 3 + 1} = i^1 = i$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$z = \frac{(1 + i)(2 + i)}{3 - i}$.

Теперь упростим числитель:

$(1 + i)(2 + i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + i \cdot 2 + i \cdot i = 2 + 3i + i^2 = 2 + 3i - 1 = 1 + 3i$.

Получаем дробь $z = \frac{1 + 3i}{3 - i}$.

Приведем ее к форме $a+bi$, умножив на сопряженное к знаменателю число $3+i$:

$z = \frac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot i + 3i \cdot 3 + 3i \cdot i}{3^2 - i^2} = \frac{3 + i + 9i + 3i^2}{9 - (-1)} = \frac{3 + 10i - 3}{10} = \frac{10i}{10} = i$.

В алгебраической форме $z = 0 + 1 \cdot i$. Здесь $a = 0$ и $b = 1$.

Найдем модуль и аргумент.

Модуль $r = |z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{1} = 0$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{1} = 1$

Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Запишем число в тригонометрической форме:

$z = 1 \cdot (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.