Номер 624, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа - номер 624, страница 239.

Условие.

624. Найти все аргументы комплексного числа:

1) $z = 7;$

2) $z = -4;$

3) $z = i;$

4) $z = -3i;$

5) $z = -1 + i;$

6) $z = \sqrt{3} + i;$

7) $z = 2 - 2i;$

8) $z = -1 - \sqrt{3}i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Аргументом комплексного числа $z = x + iy$ называется угол $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим из начала координат в точку $(x, y)$ на комплексной плоскости. Аргумент определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого, кратного $2\pi$. Обычно находят главный аргумент $\arg z$, который принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Тогда все аргументы $\text{Arg } z$ можно найти по формуле $\text{Arg } z = \arg z + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Главный аргумент $\varphi = \arg z$ можно найти из системы уравнений: $ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{x}{|z|} \\ \sin \varphi = \frac{y}{|z|} \end{cases} $ , где $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ — модуль комплексного числа.

1)

Для комплексного числа $z = 7$ действительная часть $x=7$, а мнимая часть $y=0$. Это число является действительным и положительным, поэтому оно лежит на положительной части действительной оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен 0. Таким образом, главный аргумент $\arg z = 0$. Все аргументы числа $z=7$ находятся по формуле $\text{Arg } z = 0 + 2\pi k = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Для комплексного числа $z = -4$ действительная часть $x=-4$, а мнимая часть $y=0$. Это число является действительным и отрицательным, поэтому оно лежит на отрицательной части действительной оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен $\pi$. Таким образом, главный аргумент $\arg z = \pi$. Все аргументы числа $z=-4$ находятся по формуле $\text{Arg } z = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3)

Для комплексного числа $z = i$ действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=1$. Это число является чисто мнимым с положительной мнимой частью, поэтому оно лежит на положительной части мнимой оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, главный аргумент $\arg z = \frac{\pi}{2}$. Все аргументы числа $z=i$ находятся по формуле $\text{Arg } z = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4)

Для комплексного числа $z = -3i$ действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=-3$. Это число является чисто мнимым с отрицательной мнимой частью, поэтому оно лежит на отрицательной части мнимой оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен $-\frac{\pi}{2}$. Таким образом, главный аргумент $\arg z = -\frac{\pi}{2}$. Все аргументы числа $z=-3i$ находятся по формуле $\text{Arg } z = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5)

Для комплексного числа $z = -1 + i$ имеем $x=-1$, $y=1$. Число находится во второй координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус отрицателен, а синус положителен, равен $\varphi = \frac{3\pi}{4}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6)

Для комплексного числа $z = \sqrt{3} + i$ имеем $x=\sqrt{3}$, $y=1$. Число находится в первой координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус и синус положительны, равен $\varphi = \frac{\pi}{6}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

7)

Для комплексного числа $z = 2 - 2i$ имеем $x=2$, $y=-2$. Число находится в четвертой координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус положителен, а синус отрицателен, равен $\varphi = -\frac{\pi}{4}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

8)

Для комплексного числа $z = -1 - \sqrt{3}i$ имеем $x=-1$, $y=-\sqrt{3}$. Число находится в третьей координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус и синус отрицательны, равен $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.