Номер 623, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Глава 7. Комплексные числа - номер 623, страница 237.
№623 (с. 237)
Условие. №623 (с. 237)
скриншот условия

не имеет решений.
623. Решить систему уравнений
$\begin{cases} \left| \frac{z-4}{z-8} \right| - 1 = 0, \\ \left| \frac{z-12}{z-8i} \right| = \frac{5}{3}. \end{cases}$
Решение 1. №623 (с. 237)

Решение 2. №623 (с. 237)

Решение 3. №623 (с. 237)
Для решения данной системы уравнений с комплексной переменной $z$, мы проанализируем каждое уравнение по отдельности, а затем объединим полученные результаты.
1. Анализ первого уравненияРассмотрим первое уравнение системы:
$|\frac{z-4}{z-8}| - 1 = 0$
Перенесем единицу в правую часть и, используя свойство модуля частного $|a/b| = |a|/|b|$, преобразуем уравнение:
$|\frac{z-4}{z-8}| = 1 \implies |z-4| = |z-8|$
Это уравнение имеет простой геометрический смысл. На комплексной плоскости $|z - z_0|$ представляет собой расстояние от точки $z$ до точки $z_0$. Таким образом, уравнение $|z-4| = |z-8|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 4+0i$ и $z_2 = 8+0i$.
Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(4, 0)$ и $(8, 0)$. Середина этого отрезка находится в точке с координатой $x = \frac{4+8}{2} = 6$. Так как отрезок лежит на действительной оси, серединный перпендикуляр будет вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение этой прямой: $Re(z) = 6$.
Проверим это алгебраически. Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.
$|(x-4) + iy| = |(x-8) + iy|$
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака модуля:
$(x-4)^2 + y^2 = (x-8)^2 + y^2$
$(x-4)^2 = (x-8)^2$
$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 16x + 64$
$16x - 8x = 64 - 16$
$8x = 48 \implies x = 6$
Итак, из первого уравнения мы получаем, что действительная часть искомого комплексного числа равна 6. Следовательно, $z$ можно представить в виде $z = 6 + iy$.
2. Анализ второго уравнения и нахождение решенияРассмотрим второе уравнение системы:
$|\frac{z-12}{z-8i}| = \frac{5}{3}$
Преобразуем его, домножив на знаменатель и на 3:
$3|z-12| = 5|z-8i|$
Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение $z = 6 + iy$:
$3|(6+iy) - 12| = 5|(6+iy) - 8i|$
$3|-6 + iy| = 5|6 + i(y-8)|$
По определению модуля комплексного числа, $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$. Применим это:
$3\sqrt{(-6)^2 + y^2} = 5\sqrt{6^2 + (y-8)^2}$
$3\sqrt{36 + y^2} = 5\sqrt{36 + (y-8)^2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$9(36 + y^2) = 25(36 + (y-8)^2)$
$324 + 9y^2 = 25(36 + y^2 - 16y + 64)$
$324 + 9y^2 = 25(y^2 - 16y + 100)$
$324 + 9y^2 = 25y^2 - 400y + 2500$
Соберем все члены в одной части, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:
$25y^2 - 9y^2 - 400y + 2500 - 324 = 0$
$16y^2 - 400y + 2176 = 0$
Для упрощения разделим уравнение на 16:
$y^2 - 25y + 136 = 0$
Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней:
$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$
$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 544}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{25 \pm 9}{2}$
Отсюда находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{25 + 9}{2} = \frac{34}{2} = 17$
$y_2 = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$
Таким образом, мы получили два решения для $z$, так как $x=6$:
$z_1 = 6 + 17i$
$z_2 = 6 + 8i$
Оба решения удовлетворяют ограничениям $z \neq 8$ и $z \neq 8i$, вытекающим из знаменателей в исходной системе.
Ответ: $z_1 = 6 + 17i, z_2 = 6 + 8i$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 623 расположенного на странице 237 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №623 (с. 237), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.