Номер 623, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа - номер 623, страница 237.

Условие.

не имеет решений.

623. Решить систему уравнений

$\begin{cases} \left| \frac{z-4}{z-8} \right| - 1 = 0, \\ \left| \frac{z-12}{z-8i} \right| = \frac{5}{3}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной системы уравнений с комплексной переменной $z$, мы проанализируем каждое уравнение по отдельности, а затем объединим полученные результаты.

1. Анализ первого уравнения

Рассмотрим первое уравнение системы:

$|\frac{z-4}{z-8}| - 1 = 0$

Перенесем единицу в правую часть и, используя свойство модуля частного $|a/b| = |a|/|b|$, преобразуем уравнение:

$|\frac{z-4}{z-8}| = 1 \implies |z-4| = |z-8|$

Это уравнение имеет простой геометрический смысл. На комплексной плоскости $|z - z_0|$ представляет собой расстояние от точки $z$ до точки $z_0$. Таким образом, уравнение $|z-4| = |z-8|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 4+0i$ и $z_2 = 8+0i$.

Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(4, 0)$ и $(8, 0)$. Середина этого отрезка находится в точке с координатой $x = \frac{4+8}{2} = 6$. Так как отрезок лежит на действительной оси, серединный перпендикуляр будет вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение этой прямой: $Re(z) = 6$.

Проверим это алгебраически. Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

$|(x-4) + iy| = |(x-8) + iy|$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака модуля:

$(x-4)^2 + y^2 = (x-8)^2 + y^2$

$(x-4)^2 = (x-8)^2$

$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 16x + 64$

$16x - 8x = 64 - 16$

$8x = 48 \implies x = 6$

Итак, из первого уравнения мы получаем, что действительная часть искомого комплексного числа равна 6. Следовательно, $z$ можно представить в виде $z = 6 + iy$.

2. Анализ второго уравнения и нахождение решения

Рассмотрим второе уравнение системы:

$|\frac{z-12}{z-8i}| = \frac{5}{3}$

Преобразуем его, домножив на знаменатель и на 3:

$3|z-12| = 5|z-8i|$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение $z = 6 + iy$:

$3|(6+iy) - 12| = 5|(6+iy) - 8i|$

$3|-6 + iy| = 5|6 + i(y-8)|$

По определению модуля комплексного числа, $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$. Применим это:

$3\sqrt{(-6)^2 + y^2} = 5\sqrt{6^2 + (y-8)^2}$

$3\sqrt{36 + y^2} = 5\sqrt{36 + (y-8)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$9(36 + y^2) = 25(36 + (y-8)^2)$

$324 + 9y^2 = 25(36 + y^2 - 16y + 64)$

$324 + 9y^2 = 25(y^2 - 16y + 100)$

$324 + 9y^2 = 25y^2 - 400y + 2500$

Соберем все члены в одной части, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$25y^2 - 9y^2 - 400y + 2500 - 324 = 0$

$16y^2 - 400y + 2176 = 0$

Для упрощения разделим уравнение на 16:

$y^2 - 25y + 136 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 544}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{25 \pm 9}{2}$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \frac{25 + 9}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$y_2 = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, мы получили два решения для $z$, так как $x=6$:

$z_1 = 6 + 17i$

$z_2 = 6 + 8i$

Оба решения удовлетворяют ограничениям $z \neq 8$ и $z \neq 8i$, вытекающим из знаменателей в исходной системе.

Ответ: $z_1 = 6 + 17i, z_2 = 6 + 8i$.