Номер 619, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа - номер 619, страница 236.

Условие.

619. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

1) $ |z|=5; $

2) $ |z-1|=3; $

3) $ |z+3i|=1; $

4) $ |z+2i-1|=2; $

5) $ |z-2|=|z+i|; $

6) $ |z-1-i|=|z+1+i|. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Уравнение $|z| = 5$ задает множество точек на комплексной плоскости, расстояние от которых до начала координат (точки $z_0 = 0$) равно 5.
Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа.
Модуль числа $z$ равен $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$
Возводя обе части в квадрат, получаем:
$x^2 + y^2 = 25$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 5$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом 5.

2) Уравнение $|z - 1| = 3$ задает множество точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей комплексному числу $z_0 = 1$ (т.е. до точки $(1, 0)$), равно 3.
Пусть $z = x + iy$.
Тогда $z - 1 = (x + iy) - 1 = (x - 1) + iy$.
Модуль этого выражения: $|z - 1| = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$.
Получаем уравнение:
$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$
Возводим в квадрат:
$(x - 1)^2 + y^2 = 9$
Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R = 3$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 3.

3) Уравнение $|z + 3i| = 1$ можно переписать как $|z - (-3i)| = 1$. Оно задает множество точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей комплексному числу $z_0 = -3i$ (т.е. до точки $(0, -3)$), равно 1.
Пусть $z = x + iy$.
Тогда $z + 3i = (x + iy) + 3i = x + i(y + 3)$.
Модуль этого выражения: $|z + 3i| = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2}$.
Получаем уравнение:
$\sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = 1$
Возводим в квадрат:
$x^2 + (y + 3)^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $R = 1$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом 1.

4) Уравнение $|z + 2i - 1| = 2$ можно переписать как $|z - (1 - 2i)| = 2$. Оно задает множество точек $z$, расстояние от которых до точки, соответствующей комплексному числу $z_0 = 1 - 2i$ (т.е. до точки $(1, -2)$), равно 2.
Пусть $z = x + iy$.
Тогда $z + 2i - 1 = (x - 1) + i(y + 2)$.
Модуль этого выражения: $|z + 2i - 1| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2}$.
Получаем уравнение:
$\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2} = 2$
Возводим в квадрат:
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$
Это уравнение окружности с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $R = 2$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом 2.

5) Уравнение $|z - 2| = |z + i|$ задает множество точек $z$, равноудаленных от двух точек комплексной плоскости: $z_1 = 2$ (точка $(2, 0)$) и $z_2 = -i$ (точка $(0, -1)$). Геометрически это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
Алгебраически, пусть $z = x + iy$.
$|z - 2| = |(x - 2) + iy| = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$
$|z + i| = |x + i(y + 1)| = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$
Приравниваем их модули и возводим в квадрат:
$(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 1)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1$
$-4x + 4 = 2y + 1$
$2y = -4x + 3$
$y = -2x + \frac{3}{2}$
Это уравнение прямой.
Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -2x + 1.5$.

6) Уравнение $|z - 1 - i| = |z + 1 + i|$ можно переписать как $|z - (1 + i)| = |z - (-1 - i)|$. Оно задает множество точек $z$, равноудаленных от двух точек: $z_1 = 1 + i$ (точка $(1, 1)$) и $z_2 = -1 - i$ (точка $(-1, -1)$). Это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.
Алгебраически, пусть $z = x + iy$.
$|z - (1 + i)| = |(x - 1) + i(y - 1)| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2}$
$|z - (-1 - i)| = |(x + 1) + i(y + 1)| = \sqrt{(x + 1)^2 + (y + 1)^2}$
Приравниваем квадраты модулей:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2 + (y + 1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$-2x - 2y = 2x + 2y$
$4x + 4y = 0$
$x + y = 0$, или $y = -x$
Это уравнение прямой (биссектриса второго и четвертого координатных углов).
Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -x$.