Номер 626, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа - номер 626, страница 239.

Условие.

626. Записать в алгебраической форме комплексное число:

1) $\cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3}$;

2) $3(\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$;

3) $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$;

4) $4\left(\cos \frac{9\pi}{2} + i\sin \frac{9\pi}{2}\right)$;

5) $\cos \frac{7\pi}{6} + i\sin \frac{7\pi}{6}$;

6) $\cos \frac{13\pi}{3} + i\sin \frac{13\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} $

Чтобы записать комплексное число, заданное в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, в алгебраической форме $z = x + iy$, необходимо вычислить значения тригонометрических функций для указанного аргумента $\varphi$ и затем умножить их на модуль $r$.

В данном случае модуль $r=1$ и аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.

Находим действительную часть $x$ и мнимую часть $y$:

$x = \cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$y = \sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, комплексное число в алгебраической форме равно $z = \frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) $ 3(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) $

В этом случае модуль $r=3$ и аргумент $\varphi = 2\pi$.

Вычисляем значения тригонометрических функций:

$\cos 2\pi = 1$

$\sin 2\pi = 0$

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$z = 3(1 + i \cdot 0) = 3(1) = 3$.

Ответ: $3$

3) $ \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) $

Здесь модуль $r = \sqrt{2}$ и аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Находим действительную и мнимую части:

$x = \sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4} = \sqrt{2}\cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(-\cos\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{2}{2} = -1$

$y = \sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4} = \sqrt{2}\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2}{2} = 1$

Записываем число в алгебраической форме:

$z = -1 + i \cdot 1 = -1 + i$.

Ответ: $-1 + i$

4) $ 4(\cos\frac{9\pi}{2} + i\sin\frac{9\pi}{2}) $

Модуль $r = 4$, аргумент $\varphi = \frac{9\pi}{2}$.

Аргумент можно упростить, используя периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$):

$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, значения косинуса и синуса будут такими же, как для угла $\frac{\pi}{2}$.

$\cos\frac{9\pi}{2} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$

$\sin\frac{9\pi}{2} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

Подставляем значения:

$z = 4(0 + i \cdot 1) = 4i$.

Ответ: $4i$

5) $ \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6} $

Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.

Находим действительную и мнимую части:

$x = \cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

Записываем число в алгебраической форме:

$z = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

6) $ \cos\frac{13\pi}{3} + i\sin\frac{13\pi}{3} $

Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{13\pi}{3}$.

Упростим аргумент:

$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

Вычисляем значения тригонометрических функций:

$x = \cos\frac{13\pi}{3} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$y = \sin\frac{13\pi}{3} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Записываем число в алгебраической форме:

$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$