Номер 626, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа. Глава 7. Комплексные числа - номер 626, страница 239.
№626 (с. 239)
Условие. №626 (с. 239)
скриншот условия

626. Записать в алгебраической форме комплексное число:
1) $\cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3}$;
2) $3(\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$;
3) $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$;
4) $4\left(\cos \frac{9\pi}{2} + i\sin \frac{9\pi}{2}\right)$;
5) $\cos \frac{7\pi}{6} + i\sin \frac{7\pi}{6}$;
6) $\cos \frac{13\pi}{3} + i\sin \frac{13\pi}{3}$.
Решение 1. №626 (с. 239)






Решение 2. №626 (с. 239)

Решение 3. №626 (с. 239)
1) $ \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} $
Чтобы записать комплексное число, заданное в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, в алгебраической форме $z = x + iy$, необходимо вычислить значения тригонометрических функций для указанного аргумента $\varphi$ и затем умножить их на модуль $r$.
В данном случае модуль $r=1$ и аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.
Находим действительную часть $x$ и мнимую часть $y$:
$x = \cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$y = \sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, комплексное число в алгебраической форме равно $z = \frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$
2) $ 3(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) $
В этом случае модуль $r=3$ и аргумент $\varphi = 2\pi$.
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$\cos 2\pi = 1$
$\sin 2\pi = 0$
Подставляем найденные значения в исходное выражение:
$z = 3(1 + i \cdot 0) = 3(1) = 3$.
Ответ: $3$
3) $ \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) $
Здесь модуль $r = \sqrt{2}$ и аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.
Находим действительную и мнимую части:
$x = \sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4} = \sqrt{2}\cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(-\cos\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{2}{2} = -1$
$y = \sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4} = \sqrt{2}\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2}{2} = 1$
Записываем число в алгебраической форме:
$z = -1 + i \cdot 1 = -1 + i$.
Ответ: $-1 + i$
4) $ 4(\cos\frac{9\pi}{2} + i\sin\frac{9\pi}{2}) $
Модуль $r = 4$, аргумент $\varphi = \frac{9\pi}{2}$.
Аргумент можно упростить, используя периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$):
$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, значения косинуса и синуса будут такими же, как для угла $\frac{\pi}{2}$.
$\cos\frac{9\pi}{2} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$
$\sin\frac{9\pi}{2} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$
Подставляем значения:
$z = 4(0 + i \cdot 1) = 4i$.
Ответ: $4i$
5) $ \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6} $
Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.
Находим действительную и мнимую части:
$x = \cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$
Записываем число в алгебраической форме:
$z = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$
6) $ \cos\frac{13\pi}{3} + i\sin\frac{13\pi}{3} $
Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{13\pi}{3}$.
Упростим аргумент:
$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$x = \cos\frac{13\pi}{3} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$y = \sin\frac{13\pi}{3} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Записываем число в алгебраической форме:
$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 626 расположенного на странице 239 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №626 (с. 239), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.