Номер 633, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Глава 7. Комплексные числа - номер 633, страница 243.

Условие.

633. Найти частное:

1) $\frac{\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}}{\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}}$;

2) $\frac{8\left( \cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4} \right)}{2\left( \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} \right)}$;

3) $\frac{\sqrt{3}\left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right)}{\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)}$;

4) $\frac{\cos 30^{\circ} + i\sin 30^{\circ}}{2(\cos (-15^{\circ}) + i\sin (-15^{\circ}))}$;

5) $\frac{\sqrt{12}(\cos 20^{\circ} + i\sin 20^{\circ})}{\sqrt{3}(\cos 50^{\circ} + i\sin 50^{\circ})}$;

6) $\frac{\cos 7 + i\sin 7}{\cos 2 + i\sin 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения частного двух комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ используется формула:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

1) Дано выражение $\frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}}$.

Здесь модули $r_1 = 1$, $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = \frac{\pi}{2}$, $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$.

Применяем формулу деления:

$\frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) + i\sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})$.

Вычисляем значения косинуса и синуса:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, частное равно $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

2) Дано выражение $\frac{8(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4})}{2(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})}$.

Здесь модули $r_1 = 8$, $r_2 = 2$, а аргументы $\varphi_1 = \frac{5\pi}{4}$, $\varphi_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Применяем формулу деления:

$\frac{8}{2}(\cos(\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4})) = 4(\cos(\frac{2\pi}{4}) + i\sin(\frac{2\pi}{4})) = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Вычисляем значения косинуса и синуса:

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Следовательно, частное равно $4(0 + i \cdot 1) = 4i$.

Ответ: $4i$.

3) Дано выражение $\frac{\sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))}{\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})}$.

Здесь модули $r_1 = \sqrt{3}$, $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = -\frac{\pi}{3}$, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Применяем формулу деления:

$\sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(-\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}))) = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})) = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций ($\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$\sqrt{3}(\cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Вычисляем значения: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, частное равно $\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Дано выражение $\frac{\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ}{2(\cos(-15^\circ) + i\sin(-15^\circ))}$.

Здесь модули $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, а аргументы $\varphi_1 = 30^\circ$, $\varphi_2 = -15^\circ$.

Применяем формулу деления:

$\frac{1}{2}(\cos(30^\circ - (-15^\circ)) + i\sin(30^\circ - (-15^\circ))) = \frac{1}{2}(\cos(45^\circ) + i\sin(45^\circ))$.

Вычисляем значения: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, частное равно $\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}}{4}$.

5) Дано выражение $\frac{\sqrt{12}(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)}{\sqrt{3}(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)}$.

Здесь модули $r_1 = \sqrt{12}$, $r_2 = \sqrt{3}$, а аргументы $\varphi_1 = 20^\circ$, $\varphi_2 = 50^\circ$.

Находим отношение модулей: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.

Применяем формулу деления:

$2(\cos(20^\circ - 50^\circ) + i\sin(20^\circ - 50^\circ)) = 2(\cos(-30^\circ) + i\sin(-30^\circ))$.

Используя свойства чётности и нечётности, получаем: $2(\cos(30^\circ) - i\sin(30^\circ))$.

Вычисляем значения: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, частное равно $2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$.

Ответ: $\sqrt{3} - i$.

6) Дано выражение $\frac{\cos 7 + i\sin 7}{\cos 2 + i\sin 2}$. Углы даны в радианах.

Здесь модули $r_1 = 1$, $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = 7$, $\varphi_2 = 2$.

Применяем формулу деления:

$\cos(7 - 2) + i\sin(7 - 2) = \cos 5 + i\sin 5$.

Так как 5 не является стандартным значением угла, для которого известны простые выражения через радикалы, ответ оставляем в тригонометрической форме.

Ответ: $\cos 5 + i\sin 5$.