Номер 637, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Глава 7. Комплексные числа - номер 637, страница 244.

Условие.

637. С помощью тригонометрической формы комплексного числа решить уравнение:

1) $z^2 = 16i;$

2) $z^2 = -4i;$

3) $z^2 = 2 - 2i\sqrt{3};$

4) $z^2 = -1 - \sqrt{3}i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 = 16i$

Для решения уравнения найдем корни квадратные из комплексного числа $w = 16i$. Сначала представим число $w$ в тригонометрической форме $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$ числа $w = 0 + 16i$.

Модуль: $r = |w| = \sqrt{0^2 + 16^2} = 16$.

Аргумент: так как число чисто мнимое и мнимая часть положительна ($16 > 0$), оно лежит на положительной части мнимой оси. Следовательно, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма числа: $w = 16\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$.

Корни уравнения $z^2 = w$ находятся по формуле Муавра для извлечения корней: $z_k = \sqrt{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{2}\right)$, где $k=0, 1$.

Подставляем наши значения $r=16$ и $\varphi = \frac{\pi}{2}$: $z_k = \sqrt{16}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2}\right) = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right)\right)$.

При $k=0$: $z_0 = 4\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}$.

При $k=1$: $z_1 = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right)\right) = 4\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) = 4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2\sqrt{2} - 2i\sqrt{2}$.

Ответ: $z_1 = 2\sqrt{2} + 2i\sqrt{2}$, $z_2 = -2\sqrt{2} - 2i\sqrt{2}$.

2) $z^2 = -4i$

Решаем уравнение, находя квадратные корни из комплексного числа $w = -4i$. Представим $w = 0 - 4i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |w| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$.

Аргумент: число лежит на отрицательной части мнимой оси, поэтому $\varphi = \frac{3\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма: $w = 4\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$.

Используем формулу для корней при $n=2$: $z_k = \sqrt{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{2}\right)$, где $k=0, 1$.

Подставляем $r=4$ и $\varphi = \frac{3\pi}{2}$: $z_k = \sqrt{4}\left(\cos\frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}{2}\right) = 2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4} + \pi k\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4} + \pi k\right)\right)$.

При $k=0$: $z_0 = 2\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

При $k=1$: $z_1 = 2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4} + \pi\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4} + \pi\right)\right) = 2\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Ответ: $z_1 = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$, $z_2 = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

3) $z^2 = 2 - 2i\sqrt{3}$

Решаем уравнение, находя квадратные корни из комплексного числа $w = 2 - 2i\sqrt{3}$. Представим $w$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |w| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{16} = 4$.

Аргумент: $\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{5\pi}{3}$ (или $-\frac{\pi}{3}$), так как точка находится в IV четверти.

Тригонометрическая форма: $w = 4\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right)$.

Используем формулу для корней при $n=2$: $z_k = \sqrt{4}\left(\cos\frac{\frac{5\pi}{3} + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\frac{5\pi}{3} + 2\pi k}{2}\right) = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6} + \pi k\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6} + \pi k\right)\right)$, где $k=0, 1$.

При $k=0$: $z_0 = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i$.

При $k=1$: $z_1 = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6} + \pi\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6} + \pi\right)\right) = 2\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} - i$.

Ответ: $z_1 = -\sqrt{3} + i$, $z_2 = \sqrt{3} - i$.

4) $z^2 = -1 - \sqrt{3}i$

Решаем уравнение, находя квадратные корни из комплексного числа $w = -1 - i\sqrt{3}$. Представим $w$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |w| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент: $\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{2}$, $\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{4\pi}{3}$, так как точка находится в III четверти.

Тригонометрическая форма: $w = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$.

Используем формулу для корней при $n=2$: $z_k = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\frac{4\pi}{3} + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\frac{4\pi}{3} + 2\pi k}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3} + \pi k\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3} + \pi k\right)\right)$, где $k=0, 1$.

При $k=0$: $z_0 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.

При $k=1$: $z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3} + \pi\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3} + \pi\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$, $z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.