Номер 642, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Глава 7. Комплексные числа - номер 642, страница 244.

Условие.

642. Доказать равенство $(x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z})$:

1) $ \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \frac{\sin \frac{nx}{2} \cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} $

2) $ 1 + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx = \frac{\cos \frac{nx}{2} \cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства этих равенств, известных как формулы Лагранжа, удобно использовать комплексные числа и формулу Эйлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. Мы рассмотрим сумму комплексных чисел, образующих геометрическую прогрессию, и затем выделим ее действительную и мнимую части.

Условие $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$ гарантирует, что $x/2 \neq \pi k / 2$, а значит $\sin(x/2) \neq 0$, поэтому знаменатель в искомых формулах не обращается в ноль.

1) $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \frac{\sin\frac{nx}{2} \cdot \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Рассмотрим сумму $S_n = \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$. Это мнимая часть комплексной суммы $Z_n$, где действительная часть - это сумма косинусов $C_n = \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$.

$Z_n = C_n + iS_n = (\cos x + i\sin x) + (\cos 2x + i\sin 2x) + \dots + (\cos nx + i\sin nx)$

Используя формулу Эйлера, запишем $Z_n$ в виде:

$Z_n = e^{ix} + e^{i2x} + \dots + e^{inx}$

Это сумма $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = e^{ix}$ и знаменателем $q = e^{ix}$. По формуле суммы геометрической прогрессии $S = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$:

$Z_n = e^{ix} \frac{(e^{ix})^n - 1}{e^{ix} - 1} = e^{ix} \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя тождество $e^{i\theta} - 1 = e^{i\theta/2}(e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2}) = e^{i\theta/2} \cdot 2i \sin(\theta/2)$.

Для числителя: $e^{inx} - 1 = e^{inx/2} \cdot 2i \sin(nx/2)$

Для знаменателя: $e^{ix} - 1 = e^{ix/2} \cdot 2i \sin(x/2)$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $Z_n$:

$Z_n = e^{ix} \frac{e^{inx/2} \cdot 2i \sin(nx/2)}{e^{ix/2} \cdot 2i \sin(x/2)} = e^{ix} \cdot e^{i(nx/2 - x/2)} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Упростим показатель степени у экспоненты:

$Z_n = e^{i(x + \frac{nx}{2} - \frac{x}{2})} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} = e^{i(\frac{x}{2} + \frac{nx}{2})} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} = e^{i\frac{(n+1)x}{2}} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Теперь снова применим формулу Эйлера, чтобы разделить $Z_n$ на действительную и мнимую части:

$Z_n = \left(\cos\frac{(n+1)x}{2} + i\sin\frac{(n+1)x}{2}\right) \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

$Z_n = \frac{\cos\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + i \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2} \sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Искомая сумма $S_n$ является мнимой частью $Z_n$ ($S_n = \text{Im}(Z_n)$):

$S_n = \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \frac{\sin\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше, равенство верно.

---

2) $1 + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx = \frac{\cos\frac{nx}{2} \cdot \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Рассмотрим сумму $C'_n = 1 + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$. Это действительная часть комплексной суммы $Z'_n$, которая включает в себя член для $k=0$ ($\cos(0x)=1, \sin(0x)=0$).

$Z'_n = (1) + (\cos x + i\sin x) + \dots + (\cos nx + i\sin nx) = \sum_{k=0}^{n} e^{ikx}$

Это сумма $n+1$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = e^{i \cdot 0 \cdot x} = 1$ и знаменателем $q = e^{ix}$.

$Z'_n = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} = \frac{(e^{ix})^{n+1} - 1}{e^{ix} - 1} = \frac{e^{i(n+1)x} - 1}{e^{ix} - 1}$

Снова используем преобразование $e^{i\theta} - 1 = e^{i\theta/2} \cdot 2i \sin(\theta/2)$.

Для числителя: $e^{i(n+1)x} - 1 = e^{i(n+1)x/2} \cdot 2i \sin((n+1)x/2)$

Для знаменателя: $e^{ix} - 1 = e^{ix/2} \cdot 2i \sin(x/2)$

Подставим в выражение для $Z'_n$:

$Z'_n = \frac{e^{i(n+1)x/2} \cdot 2i \sin((n+1)x/2)}{e^{ix/2} \cdot 2i \sin(x/2)} = e^{i(\frac{(n+1)x}{2} - \frac{x}{2})} \frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$

Упростим показатель степени:

$Z'_n = e^{i\frac{nx}{2}} \frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$

Применим формулу Эйлера:

$Z'_n = \left(\cos\frac{nx}{2} + i\sin\frac{nx}{2}\right) \frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}$

$Z'_n = \frac{\cos\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + i \frac{\sin\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Искомая сумма $C'_n$ является действительной частью $Z'_n$ ($C'_n = \text{Re}(Z'_n)$):

$C'_n = 1 + \cos x + \dots + \cos nx = \frac{\cos\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Что и требовалось доказать. (Заметим, что мнимая часть $Z'_n$ совпадает с результатом из пункта 1, так как $\sum_{k=0}^{n} \sin(kx) = \sin(0) + \sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \sum_{k=1}^{n} \sin(kx)$).

Ответ: Доказательство приведено выше, равенство верно.