Номер 645, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 645, страница 247.

Условие.

Решить уравнение (645—646).

645. 1) $z^2 - 2z + 10 = 0;$

2) $z^2 + 2z + 2 = 0;$

3) $z^2 - 6z + 13 = 0;$

4) $z^2 + 8z + 17 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим квадратное уравнение $z^2 - 2z + 10 = 0$. Это уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-2$, $c=10$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Корни находятся по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $\sqrt{D} = \sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = 6i$, где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Подставим значения в формулу для корней: $z = \frac{-(-2) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6i}{2}$. Разделим, чтобы найти каждый корень: $z_1 = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i$ $z_2 = \frac{2 - 6i}{2} = 1 - 3i$.
Ответ: $z_1 = 1 + 3i, z_2 = 1 - 3i$.

2) Решим квадратное уравнение $z^2 + 2z + 2 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=2$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Дискриминант отрицательный, значит, корни комплексные. $\sqrt{D} = \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$. Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $z = \frac{-2 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2i}{2}$. Получаем два корня: $z_1 = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$ $z_2 = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i$.
Ответ: $z_1 = -1 + i, z_2 = -1 - i$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - 6z + 13 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-6$, $c=13$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$. Дискриминант отрицательный, корни комплексные. $\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$. Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $z = \frac{-(-6) \pm 4i}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4i}{2}$. Получаем два корня: $z_1 = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i$ $z_2 = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i$.
Ответ: $z_1 = 3 + 2i, z_2 = 3 - 2i$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 + 8z + 17 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$, $c=17$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4$. Дискриминант отрицательный, корни комплексные. $\sqrt{D} = \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$. Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $z = \frac{-8 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 2i}{2}$. Получаем два корня: $z_1 = \frac{-8 + 2i}{2} = -4 + i$ $z_2 = \frac{-8 - 2i}{2} = -4 - i$.
Ответ: $z_1 = -4 + i, z_2 = -4 - i$.