Номер 648, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Глава 7. Комплексные числа - номер 648, страница 248.
№648 (с. 248)
Условие. №648 (с. 248)
скриншот условия

648. Решить уравнение:
1) $z^4 - 3z^2 - 4 = 0$;
2) $z^4 + 15z^2 - 16 = 0$.
Решение 1. №648 (с. 248)


Решение 2. №648 (с. 248)

Решение 3. №648 (с. 248)
1) $z^4 - 3z^2 - 4 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = z^2$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $z$.
1. Если $t = 4$, то $z^2 = 4$. Отсюда получаем два корня: $z_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.
2. Если $t = -1$, то $z^2 = -1$. Отсюда получаем еще два корня в поле комплексных чисел: $z_{3,4} = \pm\sqrt{-1} = \pm i$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z \in \{-2, 2, -i, i\}$.
2) $z^4 + 15z^2 - 16 = 0$
Это также биквадратное уравнение. Применим метод замены переменной.
Пусть $t = z^2$. Уравнение преобразуется к квадратному виду:
$t^2 + 15t - 16 = 0$
Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = -15$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -16$. Подбором находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -16$.
Либо решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$
Теперь вернемся к переменной $z$.
1. Если $t = 1$, то $z^2 = 1$. Корни: $z_{1,2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.
2. Если $t = -16$, то $z^2 = -16$. Корни: $z_{3,4} = \pm\sqrt{-16} = \pm\sqrt{16 \cdot (-1)} = \pm 4i$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z \in \{-1, 1, -4i, 4i\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 648 расположенного на странице 248 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №648 (с. 248), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.