Номер 648, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 648, страница 248.

Условие.

648. Решить уравнение:

1) $z^4 - 3z^2 - 4 = 0$;

2) $z^4 + 15z^2 - 16 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^4 - 3z^2 - 4 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = z^2$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $z$.
1. Если $t = 4$, то $z^2 = 4$. Отсюда получаем два корня: $z_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.
2. Если $t = -1$, то $z^2 = -1$. Отсюда получаем еще два корня в поле комплексных чисел: $z_{3,4} = \pm\sqrt{-1} = \pm i$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z \in \{-2, 2, -i, i\}$.

2) $z^4 + 15z^2 - 16 = 0$
Это также биквадратное уравнение. Применим метод замены переменной.
Пусть $t = z^2$. Уравнение преобразуется к квадратному виду:
$t^2 + 15t - 16 = 0$
Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = -15$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -16$. Подбором находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -16$.
Либо решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$
Теперь вернемся к переменной $z$.
1. Если $t = 1$, то $z^2 = 1$. Корни: $z_{1,2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.
2. Если $t = -16$, то $z^2 = -16$. Корни: $z_{3,4} = \pm\sqrt{-16} = \pm\sqrt{16 \cdot (-1)} = \pm 4i$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z \in \{-1, 1, -4i, 4i\}$.