Номер 655, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения. Глава 7. Комплексные числа - номер 655, страница 251.

Условие.

655. 1) $z^2 = -16 + 8i$;

2) $36z^8 - 13z^4 + 1 = 0$;

3) $z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 2z + 1 = 0$;

4) $z^3 + \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{2}z + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Требуется найти квадратные корни из комплексного числа, то есть решить уравнение $z^2 = -16 + 8i$.
Пусть $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = -16 \\ 2xy = 8 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{4}{x}$ (очевидно, $x \neq 0$). Подставим это в первое уравнение:
$x^2 - (\frac{4}{x})^2 = -16$
$x^2 - \frac{16}{x^2} = -16$
Умножим обе части на $x^2$:
$x^4 - 16 = -16x^2$
$x^4 + 16x^2 - 16 = 0$
Сделаем замену $u = x^2$. Так как $x$ - действительное число, $u \ge 0$.
$u^2 + 16u - 16 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$:
$u = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(1)(-16)}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 64}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{320}}{2}$
Так как $\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}$, получаем:
$u = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{2} = -8 \pm 4\sqrt{5}$
Поскольку $u = x^2 \ge 0$, мы должны выбрать решение со знаком "плюс", так как $-8 - 4\sqrt{5} < 0$.
$x^2 = -8 + 4\sqrt{5} = 4(\sqrt{5}-2)$.
Тогда $x = \pm \sqrt{4(\sqrt{5}-2)} = \pm 2\sqrt{\sqrt{5}-2}$.
Найдем соответствующие значения $y = \frac{4}{x}$:
Если $x = 2\sqrt{\sqrt{5}-2}$, то $y = \frac{4}{2\sqrt{\sqrt{5}-2}} = \frac{2}{\sqrt{\sqrt{5}-2}} = \frac{2\sqrt{\sqrt{5}+2}}{(\sqrt{\sqrt{5}-2})(\sqrt{\sqrt{5}+2})} = \frac{2\sqrt{\sqrt{5}+2}}{\sqrt{5-4}} = 2\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
Если $x = -2\sqrt{\sqrt{5}-2}$, то $y = -2\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
Таким образом, получаем два решения:
$z_1 = 2\sqrt{\sqrt{5}-2} + 2i\sqrt{\sqrt{5}+2}$
$z_2 = -2\sqrt{\sqrt{5}-2} - 2i\sqrt{\sqrt{5}+2}$
Ответ: $z = \pm(2\sqrt{\sqrt{5}-2} + 2i\sqrt{\sqrt{5}+2})$.

2) Дано уравнение $36z^8 - 13z^4 + 1 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $z^4$. Сделаем замену $w = z^4$:
$36w^2 - 13w + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 169 - 144 = 25$.
$w = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 36} = \frac{13 \pm 5}{72}$
Получаем два значения для $w$:
$w_1 = \frac{13+5}{72} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$
$w_2 = \frac{13-5}{72} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}$
Теперь вернемся к переменной $z$, решив два уравнения:
Случай 1: $z^4 = \frac{1}{4}$.
Корни n-ой степени из числа $a$ можно найти по формуле $z_k = \sqrt[n]{|a|} (\cos(\frac{\phi+2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\phi+2\pi k}{n}))$.
Здесь $a = \frac{1}{4}$, $|a| = \frac{1}{4}$, аргумент $\phi = 0$.
$z = \sqrt[4]{\frac{1}{4}} (\cos(\frac{2\pi k}{4}) + i\sin(\frac{2\pi k}{4})) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi k}{2}) + i\sin(\frac{\pi k}{2}))$ для $k=0,1,2,3$.
$k=0: z_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos 0 + i\sin 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$k=1: z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}) = \frac{i}{\sqrt{2}}$
$k=2: z_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \pi + i\sin \pi) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$k=3: z_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}) = -\frac{i}{\sqrt{2}}$
Случай 2: $z^4 = \frac{1}{9}$.
Аналогично, $z = \sqrt[4]{\frac{1}{9}} (\cos(\frac{\pi k}{2}) + i\sin(\frac{\pi k}{2})) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\cos(\frac{\pi k}{2}) + i\sin(\frac{\pi k}{2}))$ для $k=0,1,2,3$.
$k=0: z_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$k=1: z_5 = \frac{i}{\sqrt{3}}$
$k=2: z_6 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$k=3: z_7 = -\frac{i}{\sqrt{3}}$
Ответ: $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, \pm\frac{i}{\sqrt{2}}, \pm\frac{1}{\sqrt{3}}, \pm\frac{i}{\sqrt{3}}$.

3) Дано уравнение $z^4 - 2z^3 + 2z^2 - 2z + 1 = 0$.
Это симметрическое (возвратное) уравнение, так как его коэффициенты, равноудаленные от концов, равны.
Так как $z=0$ не является корнем, разделим обе части на $z^2$:
$z^2 - 2z + 2 - \frac{2}{z} + \frac{1}{z^2} = 0$
Сгруппируем члены: $(z^2 + \frac{1}{z^2}) - 2(z + \frac{1}{z}) + 2 = 0$.
Сделаем замену $w = z + \frac{1}{z}$. Тогда $w^2 = z^2 + 2 + \frac{1}{z^2}$, откуда $z^2 + \frac{1}{z^2} = w^2 - 2$.
Подставим это в уравнение:
$(w^2 - 2) - 2w + 2 = 0$
$w^2 - 2w = 0$
$w(w-2) = 0$
Отсюда $w_1=0$ или $w_2=2$.
Случай 1: $w = 0$.
$z + \frac{1}{z} = 0 \implies z^2 + 1 = 0 \implies z = \pm i$.
Случай 2: $w = 2$.
$z + \frac{1}{z} = 2 \implies z^2 - 2z + 1 = 0 \implies (z-1)^2 = 0 \implies z = 1$ (корень кратности 2).
Ответ: $1, 1, i, -i$.

4) Дано уравнение $z^3 + \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{2}z + 1 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2z^3 + z^2 + z + 2 = 0$
Сгруппируем члены для разложения на множители:
$(2z^3 + 2) + (z^2 + z) = 0$
$2(z^3 + 1) + z(z + 1) = 0$
Используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$2(z + 1)(z^2 - z + 1) + z(z + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(z+1)$:
$(z + 1)[2(z^2 - z + 1) + z] = 0$
$(z + 1)(2z^2 - 2z + 2 + z) = 0$
$(z + 1)(2z^2 - z + 2) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $z + 1 = 0 \implies z_1 = -1$
2) $2z^2 - z + 2 = 0$
Решим второе уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.
Корни $z = \frac{1 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{15}}{4}$.
$z_2 = \frac{1 + i\sqrt{15}}{4}$ и $z_3 = \frac{1 - i\sqrt{15}}{4}$.
Ответ: $-1, \frac{1 + i\sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i\sqrt{15}}{4}$.