Номер 660, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Упражнения к главе VII - номер 660, страница 251.

Условие.

660. 1) $\frac{10+i^3}{-5+2i}$;

2) $\frac{4+3i}{3-4i} - \frac{5-4i}{4+5i}$;

3) $i+\frac{1+6i}{1-7i}$;

4) $\frac{5+i}{(1+i)(2-3i)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{10+i^3}{-5+2i}$

Сначала упростим числитель. По определению мнимой единицы $i^2 = -1$, следовательно $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$. Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{10 - i}{-5 + 2i}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю. Для числа $z = -5+2i$ сопряженным является $\bar{z} = -5-2i$.

$\frac{10 - i}{-5 + 2i} = \frac{(10 - i)(-5 - 2i)}{(-5 + 2i)(-5 - 2i)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(10 - i)(-5 - 2i) = 10 \cdot (-5) + 10 \cdot (-2i) - i \cdot (-5) - i \cdot (-2i) = -50 - 20i + 5i + 2i^2 = -50 - 15i + 2(-1) = -52 - 15i$

Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ или $z \cdot \bar{z} = a^2+b^2$:

$(-5 + 2i)(-5 - 2i) = (-5)^2 - (2i)^2 = 25 - 4i^2 = 25 - 4(-1) = 25 + 4 = 29$

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{-52 - 15i}{29} = -\frac{52}{29} - \frac{15}{29}i$

Ответ: $-\frac{52}{29} - \frac{15}{29}i$

2) $\frac{4+3i}{3-4i} - \frac{5-4i}{4+5i}$

Вычислим значение каждой дроби по отдельности.

Для первой дроби $\frac{4+3i}{3-4i}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $3+4i$:

$\frac{(4+3i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{12 + 16i + 9i + 12i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{12 + 25i - 12}{9 + 16} = \frac{25i}{25} = i$

Для второй дроби $\frac{5-4i}{4+5i}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4-5i$:

$\frac{(5-4i)(4-5i)}{(4+5i)(4-5i)} = \frac{20 - 25i - 16i + 20i^2}{4^2 + 5^2} = \frac{20 - 41i - 20}{16 + 25} = \frac{-41i}{41} = -i$

Теперь выполним вычитание:

$i - (-i) = i + i = 2i$

Ответ: $2i$

3) $i + \frac{1+6i}{1-7i}$

Сначала упростим дробь $\frac{1+6i}{1-7i}$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $1+7i$:

$\frac{(1+6i)(1+7i)}{(1-7i)(1+7i)} = \frac{1 + 7i + 6i + 42i^2}{1^2 + 7^2} = \frac{1 + 13i - 42}{1 + 49} = \frac{-41 + 13i}{50} = -\frac{41}{50} + \frac{13}{50}i$

Теперь прибавим $i$ к полученному результату:

$i + (-\frac{41}{50} + \frac{13}{50}i) = -\frac{41}{50} + (1 + \frac{13}{50})i = -\frac{41}{50} + (\frac{50}{50} + \frac{13}{50})i = -\frac{41}{50} + \frac{63}{50}i$

Ответ: $-\frac{41}{50} + \frac{63}{50}i$

4) $\frac{5+i}{(1+i)(2-3i)}$

Сначала раскроем скобки в знаменателе:

$(1+i)(2-3i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3i + i \cdot 2 - i \cdot 3i = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i - 3(-1) = 2 - i + 3 = 5 - i$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{5+i}{5-i}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $5+i$:

$\frac{(5+i)(5+i)}{(5-i)(5+i)} = \frac{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot i + i^2}{5^2 + 1^2} = \frac{25 + 10i - 1}{25 + 1} = \frac{24 + 10i}{26}$

Разделим действительную и мнимую части на 26 и сократим дроби:

$\frac{24}{26} + \frac{10}{26}i = \frac{12}{13} + \frac{5}{13}i$

Ответ: $\frac{12}{13} + \frac{5}{13}i$