Номер 656, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 7. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения - номер 656, страница 251.

Условие.

656. Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами:

1) $z^2 + (2 - 6i)z - 12 - 6i = 0;$

2) $z^2 - 2(1 + i)z + 9 + 2i = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 + (2 - 6i)z - 12 - 6i = 0$

Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты являются комплексными числами:

$a = 1$

$b = 2 - 6i$

$c = -12 - 6i$

Для решения используем стандартную формулу корней квадратного уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Сначала вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (2 - 6i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12 - 6i)$

$\Delta = (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 6i + (6i)^2) - (-48 - 24i)$

$\Delta = (4 - 24i + 36i^2) + 48 + 24i$

Поскольку $i^2 = -1$, получаем:

$\Delta = (4 - 24i - 36) + 48 + 24i$

$\Delta = -32 - 24i + 48 + 24i$

$\Delta = 16$

Теперь найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4$

Подставляем значения в формулу для корней:

$z_{1,2} = \frac{-(2 - 6i) \pm 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6i \pm 4}{2}$

Находим два корня:

$z_1 = \frac{-2 + 6i + 4}{2} = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i$

$z_2 = \frac{-2 + 6i - 4}{2} = \frac{-6 + 6i}{2} = -3 + 3i$

Ответ: $z_1 = 1 + 3i$, $z_2 = -3 + 3i$.

2) $z^2 - 2(1 + i)z + 9 + 2i = 0$

Это также квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$ с коэффициентами:

$a = 1$

$b = -2(1 + i) = -2 - 2i$

$c = 9 + 2i$

Используем ту же формулу для нахождения корней. Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-2(1 + i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9 + 2i)$

$\Delta = 4(1 + i)^2 - 4(9 + 2i)$

$\Delta = 4(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2) - 36 - 8i$

Зная, что $i^2 = -1$:

$\Delta = 4(1 + 2i - 1) - 36 - 8i$

$\Delta = 4(2i) - 36 - 8i$

$\Delta = 8i - 36 - 8i$

$\Delta = -36$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = \sqrt{36i^2} = 6i$

Подставляем значения в формулу для корней:

$z_{1,2} = \frac{-(-2(1 + i)) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{2(1 + i) \pm 6i}{2} = \frac{2 + 2i \pm 6i}{2}$

Находим два корня:

$z_1 = \frac{2 + 2i + 6i}{2} = \frac{2 + 8i}{2} = 1 + 4i$

$z_2 = \frac{2 + 2i - 6i}{2} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$

Ответ: $z_1 = 1 + 4i$, $z_2 = 1 - 2i$.