Номер 653, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 7. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения - номер 653, страница 251.

Условие.

653. Найти все значения корня:

1) $\sqrt[4]{1}$;

2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$;

3) $\sqrt[5]{1}$;

4) $\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt[4]{1}$

Для нахождения всех значений корня n-ой степени из комплексного числа $z$ используется формула Муавра. Сначала необходимо представить подкоренное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент. Тогда все $n$ значений корня находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В данном случае ищем корень 4-й степени из числа 1. Представим $z=1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$. Аргумент $\varphi = \arg(1) = 0$.

Таким образом, $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Используем формулу для $n=4$:

$w_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{4} \right) = \cos \frac{\pi k}{2} + i \sin \frac{\pi k}{2}$, где $k = 0, 1, 2, 3$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos \pi + i \sin \pi = -1$.
• При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$.

Ответ: $1, -1, i, -i$.

2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$

Найдем все значения корня 3-й степени из числа $-\frac{1}{27}$.

Представим число $z = -\frac{1}{27}$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-\frac{1}{27}| = \frac{1}{27}$. Аргумент $\varphi = \arg(-\frac{1}{27}) = \pi$.

Таким образом, $z = \frac{1}{27}(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Используем формулу Муавра для $n=3$:

$w_k = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi(1 + 2k)}{3} + i \sin \frac{\pi(1 + 2k)}{3} \right)$, где $k = 0, 1, 2$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}$.
• При $k=1$: $w_1 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = \frac{1}{3}(\cos \pi + i \sin \pi) = -\frac{1}{3}$.
• При $k=2$: $w_2 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}, \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.

3) $\sqrt[5]{1}$

Найдем все значения корня 5-й степени из числа 1.

Представим число $z=1$ в тригонометрической форме: $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Используем формулу Муавра для $n=5$:

$w_k = \sqrt[5]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{5} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{5} \right) = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
• При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}$.
• При $k=2$: $w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}$.
• При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}$.
• При $k=4$: $w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.

Ответ: все пять корней могут быть представлены формулой $w_k = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$. Это корни: $w_0=1; w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}; w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}; w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}; w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.

4) $\sqrt[4]{\sqrt{3} + i}$

Найдем все значения корня 4-й степени из числа $\sqrt{3} + i$.

Представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Аргумент $\varphi$ определяется из условий $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \varphi = \frac{1}{2}$, откуда $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Используем формулу Муавра для $n=4$:

$w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} \right) = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24} \right)$.
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{13\pi}{24} + i \sin \frac{13\pi}{24} \right)$.
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{25\pi}{24} + i \sin \frac{25\pi}{24} \right)$.
• При $k=3$: $w_3 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{37\pi}{24} + i \sin \frac{37\pi}{24} \right)$.

Ответ: все четыре корня задаются формулой $w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.