Номер 653, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения. Глава 7. Комплексные числа - номер 653, страница 251.

№653 (с. 251)
Условие. №653 (с. 251)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 251, номер 653, Условие

653. Найти все значения корня:

1) $\sqrt[4]{1}$;

2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$;

3) $\sqrt[5]{1}$;

4) $\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}$.

Решение 1. №653 (с. 251)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 251, номер 653, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 251, номер 653, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 251, номер 653, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 251, номер 653, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №653 (с. 251)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 251, номер 653, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 251, номер 653, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №653 (с. 251)

1) $\sqrt[4]{1}$

Для нахождения всех значений корня n-ой степени из комплексного числа $z$ используется формула Муавра. Сначала необходимо представить подкоренное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент. Тогда все $n$ значений корня находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В данном случае ищем корень 4-й степени из числа 1. Представим $z=1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$. Аргумент $\varphi = \arg(1) = 0$.

Таким образом, $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Используем формулу для $n=4$:

$w_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{4} \right) = \cos \frac{\pi k}{2} + i \sin \frac{\pi k}{2}$, где $k = 0, 1, 2, 3$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

  • При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
  • При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$.
  • При $k=2$: $w_2 = \cos \pi + i \sin \pi = -1$.
  • При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$.

Ответ: $1, -1, i, -i$.

2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$

Найдем все значения корня 3-й степени из числа $-\frac{1}{27}$.

Представим число $z = -\frac{1}{27}$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-\frac{1}{27}| = \frac{1}{27}$. Аргумент $\varphi = \arg(-\frac{1}{27}) = \pi$.

Таким образом, $z = \frac{1}{27}(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Используем формулу Муавра для $n=3$:

$w_k = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi(1 + 2k)}{3} + i \sin \frac{\pi(1 + 2k)}{3} \right)$, где $k = 0, 1, 2$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

  • При $k=0$: $w_0 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}$.
  • При $k=1$: $w_1 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = \frac{1}{3}(\cos \pi + i \sin \pi) = -\frac{1}{3}$.
  • При $k=2$: $w_2 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}, \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.

3) $\sqrt[5]{1}$

Найдем все значения корня 5-й степени из числа 1.

Представим число $z=1$ в тригонометрической форме: $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Используем формулу Муавра для $n=5$:

$w_k = \sqrt[5]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{5} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{5} \right) = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Значения корней для каждого $k$:

  • При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
  • При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}$.
  • При $k=2$: $w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}$.
  • При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}$.
  • При $k=4$: $w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.

Ответ: все пять корней могут быть представлены формулой $w_k = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$. Это корни: $w_0=1; w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}; w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}; w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}; w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.

4) $\sqrt[4]{\sqrt{3} + i}$

Найдем все значения корня 4-й степени из числа $\sqrt{3} + i$.

Представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Аргумент $\varphi$ определяется из условий $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \varphi = \frac{1}{2}$, откуда $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Используем формулу Муавра для $n=4$:

$w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} \right) = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3$.

Вычислим значения корней для каждого $k$:

  • При $k=0$: $w_0 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24} \right)$.
  • При $k=1$: $w_1 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{13\pi}{24} + i \sin \frac{13\pi}{24} \right)$.
  • При $k=2$: $w_2 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{25\pi}{24} + i \sin \frac{25\pi}{24} \right)$.
  • При $k=3$: $w_3 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{37\pi}{24} + i \sin \frac{37\pi}{24} \right)$.

Ответ: все четыре корня задаются формулой $w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 653 расположенного на странице 251 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №653 (с. 251), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.