Номер 653, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения. Глава 7. Комплексные числа - номер 653, страница 251.
№653 (с. 251)
Условие. №653 (с. 251)
скриншот условия

653. Найти все значения корня:
1) $\sqrt[4]{1}$;
2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$;
3) $\sqrt[5]{1}$;
4) $\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}$.
Решение 1. №653 (с. 251)




Решение 2. №653 (с. 251)


Решение 3. №653 (с. 251)
1) $\sqrt[4]{1}$
Для нахождения всех значений корня n-ой степени из комплексного числа $z$ используется формула Муавра. Сначала необходимо представить подкоренное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент. Тогда все $n$ значений корня находятся по формуле:
$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
В данном случае ищем корень 4-й степени из числа 1. Представим $z=1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$. Аргумент $\varphi = \arg(1) = 0$.
Таким образом, $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.
Используем формулу для $n=4$:
$w_k = \sqrt[4]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{4} \right) = \cos \frac{\pi k}{2} + i \sin \frac{\pi k}{2}$, где $k = 0, 1, 2, 3$.
Вычислим значения корней для каждого $k$:
- При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
- При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$.
- При $k=2$: $w_2 = \cos \pi + i \sin \pi = -1$.
- При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$.
Ответ: $1, -1, i, -i$.
2) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$
Найдем все значения корня 3-й степени из числа $-\frac{1}{27}$.
Представим число $z = -\frac{1}{27}$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-\frac{1}{27}| = \frac{1}{27}$. Аргумент $\varphi = \arg(-\frac{1}{27}) = \pi$.
Таким образом, $z = \frac{1}{27}(\cos \pi + i \sin \pi)$.
Используем формулу Муавра для $n=3$:
$w_k = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \left( \cos \frac{\pi + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi(1 + 2k)}{3} + i \sin \frac{\pi(1 + 2k)}{3} \right)$, где $k = 0, 1, 2$.
Вычислим значения корней для каждого $k$:
- При $k=0$: $w_0 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}$.
- При $k=1$: $w_1 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = \frac{1}{3}(\cos \pi + i \sin \pi) = -\frac{1}{3}$.
- При $k=2$: $w_2 = \frac{1}{3} \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}, \frac{1}{6} + i\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{6} - i\frac{\sqrt{3}}{6}$.
3) $\sqrt[5]{1}$
Найдем все значения корня 5-й степени из числа 1.
Представим число $z=1$ в тригонометрической форме: $z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.
Используем формулу Муавра для $n=5$:
$w_k = \sqrt[5]{1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi k}{5} + i \sin \frac{0 + 2\pi k}{5} \right) = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.
Значения корней для каждого $k$:
- При $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1$.
- При $k=1$: $w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}$.
- При $k=2$: $w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}$.
- При $k=3$: $w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}$.
- При $k=4$: $w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.
Ответ: все пять корней могут быть представлены формулой $w_k = \cos \frac{2\pi k}{5} + i \sin \frac{2\pi k}{5}$ для $k=0, 1, 2, 3, 4$. Это корни: $w_0=1; w_1 = \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5}; w_2 = \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}; w_3 = \cos \frac{6\pi}{5} + i \sin \frac{6\pi}{5}; w_4 = \cos \frac{8\pi}{5} + i \sin \frac{8\pi}{5}$.
4) $\sqrt[4]{\sqrt{3} + i}$
Найдем все значения корня 4-й степени из числа $\sqrt{3} + i$.
Представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.
Аргумент $\varphi$ определяется из условий $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \varphi = \frac{1}{2}$, откуда $\varphi = \frac{\pi}{6}$.
Таким образом, $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$.
Используем формулу Муавра для $n=4$:
$w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{4} \right) = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3$.
Вычислим значения корней для каждого $k$:
- При $k=0$: $w_0 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24} \right)$.
- При $k=1$: $w_1 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{13\pi}{24} + i \sin \frac{13\pi}{24} \right)$.
- При $k=2$: $w_2 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{25\pi}{24} + i \sin \frac{25\pi}{24} \right)$.
- При $k=3$: $w_3 = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{37\pi}{24} + i \sin \frac{37\pi}{24} \right)$.
Ответ: все четыре корня задаются формулой $w_k = \sqrt[4]{2} \left( \cos \frac{\pi(1 + 12k)}{24} + i \sin \frac{\pi(1 + 12k)}{24} \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 653 расположенного на странице 251 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №653 (с. 251), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.