Номер 646, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 646, страница 247.

Условие.

646. 1) $4z^2 - 4z + 5 = 0$;

2) $9z^2 + 18z + 10 = 0$;

3) $z^2 - 4z + 7 = 0$;

4) $z^2 + 2z + 6 = 0$;

5) $z^3 + 27 = 0$;

6) $z^3 = 8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим квадратное уравнение $4z^2 - 4z + 5 = 0$.
Это уравнение вида $az^2+bz+c=0$ с коэффициентами $a=4, b=-4, c=5$.
Найдем дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:
$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 - 80 = -64$.
Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными. Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = 8i$.
Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-(-4) \pm 8i}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8i}{8} = \frac{1}{2} \pm i$.
Корни уравнения: $z_1 = \frac{1}{2} + i$ и $z_2 = \frac{1}{2} - i$.
Ответ: $z_{1,2} = \frac{1}{2} \pm i$.

2) Решим квадратное уравнение $9z^2 + 18z + 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=9, b=18, c=10$.
Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 324 - 360 = -36$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-36} = 6i$.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-18 \pm 6i}{2 \cdot 9} = \frac{-18 \pm 6i}{18} = -1 \pm \frac{1}{3}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -1 + \frac{1}{3}i$ и $z_2 = -1 - \frac{1}{3}i$.
Ответ: $z_{1,2} = -1 \pm \frac{1}{3}i$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - 4z + 7 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-4, c=7$.
Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-12} = \sqrt{12 \cdot (-1)} = 2\sqrt{3}i$.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{3}i}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm \sqrt{3}i$.
Корни уравнения: $z_1 = 2 + \sqrt{3}i$ и $z_2 = 2 - \sqrt{3}i$.
Ответ: $z_{1,2} = 2 \pm i\sqrt{3}$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 + 2z + 6 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=2, c=6$.
Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-20} = \sqrt{20 \cdot (-1)} = 2\sqrt{5}i$.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}i}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}i}{2} = -1 \pm \sqrt{5}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -1 + \sqrt{5}i$ и $z_2 = -1 - \sqrt{5}i$.
Ответ: $z_{1,2} = -1 \pm i\sqrt{5}$.

5) Решим кубическое уравнение $z^3 + 27 = 0$.
Перепишем уравнение как $z^3 = -27$. Мы ищем кубические корни из -27.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$z^3 + 3^3 = (z+3)(z^2 - 3z + 9) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $z+3 = 0 \implies z_1 = -3$.
2) $z^2 - 3z + 9 = 0$. Решим это квадратное уравнение.
$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-27} = 3\sqrt{3}i$.
$z = \frac{-(-3) \pm 3\sqrt{3}i}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$.
Таким образом, $z_2 = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$ и $z_3 = \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$.
Ответ: $z_1 = -3$, $z_2 = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $z_3 = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

6) Решим кубическое уравнение $z^3 = 8$.
Перепишем уравнение как $z^3 - 8 = 0$. Мы ищем кубические корни из 8.
Используем формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$z^3 - 2^3 = (z-2)(z^2 + 2z + 4) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $z-2 = 0 \implies z_1 = 2$.
2) $z^2 + 2z + 4 = 0$. Решим это квадратное уравнение.
$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-12} = 2\sqrt{3}i$.
$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$.
Таким образом, $z_2 = -1 + \sqrt{3}i$ и $z_3 = -1 - \sqrt{3}i$.
Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -1 + i\sqrt{3}$, $z_3 = -1 - i\sqrt{3}$.