Страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

643. Решить уравнение:

1) $z^2 = -16;$

2) $z^2 = -7;$

3) $z^2 + 0.36 = 0;$

4) $25z^2 + 9 = 0;$

5) $z^4 - 16 = 0;$

6) $z^4 - 81 = 0.$

1) $z^2 = -16$

Чтобы решить это уравнение в множестве комплексных чисел, представим $-16$ как произведение $16$ и $-1$. Зная, что мнимая единица $i$ определяется как $i^2 = -1$, мы можем записать:

$z^2 = 16 \cdot (-1) = 16i^2$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$z = \pm\sqrt{16i^2} = \pm\sqrt{16}\sqrt{i^2} = \pm 4i$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $z_1 = 4i, z_2 = -4i$.

2) $z^2 = -7$

Аналогично предыдущему пункту, используем мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$.

$z^2 = 7 \cdot (-1) = 7i^2$

Извлекаем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{7i^2} = \pm\sqrt{7}\sqrt{i^2} = \pm i\sqrt{7}$

Уравнение имеет два комплексных корня.

Ответ: $z_1 = i\sqrt{7}, z_2 = -i\sqrt{7}$.

3) $z^2 + 0,36 = 0$

Сначала выразим $z^2$:

$z^2 = -0,36$

Представим правую часть через мнимую единицу $i$:

$z^2 = 0,36 \cdot (-1) = 0,36i^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{0,36i^2} = \pm\sqrt{0,36}\sqrt{i^2} = \pm 0,6i$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $z_1 = 0,6i, z_2 = -0,6i$.

4) $25z^2 + 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть и разделим на 25, чтобы выразить $z^2$:

$25z^2 = -9$

$z^2 = -\frac{9}{25}$

Используем мнимую единицу $i^2 = -1$:

$z^2 = \frac{9}{25}i^2$

Извлекаем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{\frac{9}{25}i^2} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}\sqrt{i^2} = \pm \frac{3}{5}i$

Уравнение имеет два комплексных корня.

Ответ: $z_1 = \frac{3}{5}i, z_2 = -\frac{3}{5}i$.

5) $z^4 - 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Мы можем разложить левую часть как разность квадратов:

$z^4 - 16 = (z^2)^2 - 4^2 = (z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $z^2 - 4 = 0$

$z^2 = 4$

$z = \pm\sqrt{4} = \pm 2$

Случай 2: $z^2 + 4 = 0$

$z^2 = -4 = 4i^2$

$z = \pm\sqrt{4i^2} = \pm 2i$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2, z_2 = -2, z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

6) $z^4 - 81 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$z^4 - 81 = (z^2)^2 - 9^2 = (z^2 - 9)(z^2 + 9) = 0$

Рассмотрим два случая, когда множители равны нулю:

Случай 1: $z^2 - 9 = 0$

$z^2 = 9$

$z = \pm\sqrt{9} = \pm 3$

Случай 2: $z^2 + 9 = 0$

$z^2 = -9 = 9i^2$

$z = \pm\sqrt{9i^2} = \pm 3i$

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 3, z_2 = -3, z_3 = 3i, z_4 = -3i$.

644. Вычислить:

1) $\sqrt{-100}$;

2) $\sqrt{-0.25}$;

3) $\sqrt{-12}$;

4) $\sqrt{-27}$.

Данная задача заключается в вычислении квадратных корней из отрицательных чисел. Решение этой задачи зависит от того, в каком множестве чисел мы работаем.

В множестве действительных чисел ($R$), квадратный корень из отрицательного числа не определён. Это следует из того, что квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. То есть, не существует такого действительного числа $x$, для которого выполнялось бы равенство $x^2 = a$, если $a < 0$. Поэтому, в рамках действительных чисел, ни одно из данных выражений не имеет смысла.

В множестве комплексных чисел ($C$), вычисление корня из отрицательного числа возможно. Для этого вводится мнимая единица $i$, определяемая как $i = \sqrt{-1}$. С её помощью для любого положительного действительного числа $a$ можно записать:

$\sqrt{-a} = \sqrt{a \cdot (-1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-1} = i\sqrt{a}$

Ниже приведены решения для каждого пункта, предполагая работу в поле комплексных чисел.

Применяя приведённое выше правило для комплексных чисел, получаем:

$\sqrt{-100} = i\sqrt{100} = 10i$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $10i$.

Аналогично предыдущему пункту:

$\sqrt{-0,25} = i\sqrt{0,25} = 0,5i$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $0,5i$.

Выполняем вычисление и упрощаем корень:

$\sqrt{-12} = i\sqrt{12} = i\sqrt{4 \cdot 3} = 2i\sqrt{3}$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $2i\sqrt{3}$.

Выполняем вычисление и упрощаем корень:

$\sqrt{-27} = i\sqrt{27} = i\sqrt{9 \cdot 3} = 3i\sqrt{3}$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $3i\sqrt{3}$.

Решить уравнение (645—646).

645. 1) $z^2 - 2z + 10 = 0;$

2) $z^2 + 2z + 2 = 0;$

3) $z^2 - 6z + 13 = 0;$

4) $z^2 + 8z + 17 = 0.$

1) Решим квадратное уравнение $z^2 - 2z + 10 = 0$. Это уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-2$, $c=10$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Корни находятся по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $\sqrt{D} = \sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = 6i$, где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Подставим значения в формулу для корней: $z = \frac{-(-2) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6i}{2}$. Разделим, чтобы найти каждый корень: $z_1 = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i$ $z_2 = \frac{2 - 6i}{2} = 1 - 3i$.
Ответ: $z_1 = 1 + 3i, z_2 = 1 - 3i$.

2) Решим квадратное уравнение $z^2 + 2z + 2 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=2$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Дискриминант отрицательный, значит, корни комплексные. $\sqrt{D} = \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$. Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $z = \frac{-2 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2i}{2}$. Получаем два корня: $z_1 = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$ $z_2 = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i$.
Ответ: $z_1 = -1 + i, z_2 = -1 - i$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - 6z + 13 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-6$, $c=13$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$. Дискриминант отрицательный, корни комплексные. $\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$. Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $z = \frac{-(-6) \pm 4i}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4i}{2}$. Получаем два корня: $z_1 = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i$ $z_2 = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i$.
Ответ: $z_1 = 3 + 2i, z_2 = 3 - 2i$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 + 8z + 17 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$, $c=17$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4$. Дискриминант отрицательный, корни комплексные. $\sqrt{D} = \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$. Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $z = \frac{-8 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 2i}{2}$. Получаем два корня: $z_1 = \frac{-8 + 2i}{2} = -4 + i$ $z_2 = \frac{-8 - 2i}{2} = -4 - i$.
Ответ: $z_1 = -4 + i, z_2 = -4 - i$.

646. 1) $4z^2 - 4z + 5 = 0$;

2) $9z^2 + 18z + 10 = 0$;

3) $z^2 - 4z + 7 = 0$;

4) $z^2 + 2z + 6 = 0$;

5) $z^3 + 27 = 0$;

6) $z^3 = 8$.

1) Решим квадратное уравнение $4z^2 - 4z + 5 = 0$.
Это уравнение вида $az^2+bz+c=0$ с коэффициентами $a=4, b=-4, c=5$.
Найдем дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:
$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 16 - 80 = -64$.
Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными. Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = 8i$.
Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-(-4) \pm 8i}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8i}{8} = \frac{1}{2} \pm i$.
Корни уравнения: $z_1 = \frac{1}{2} + i$ и $z_2 = \frac{1}{2} - i$.
Ответ: $z_{1,2} = \frac{1}{2} \pm i$.

2) Решим квадратное уравнение $9z^2 + 18z + 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=9, b=18, c=10$.
Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 324 - 360 = -36$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-36} = 6i$.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-18 \pm 6i}{2 \cdot 9} = \frac{-18 \pm 6i}{18} = -1 \pm \frac{1}{3}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -1 + \frac{1}{3}i$ и $z_2 = -1 - \frac{1}{3}i$.
Ответ: $z_{1,2} = -1 \pm \frac{1}{3}i$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - 4z + 7 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-4, c=7$.
Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-12} = \sqrt{12 \cdot (-1)} = 2\sqrt{3}i$.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-(-4) \pm 2\sqrt{3}i}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm \sqrt{3}i$.
Корни уравнения: $z_1 = 2 + \sqrt{3}i$ и $z_2 = 2 - \sqrt{3}i$.
Ответ: $z_{1,2} = 2 \pm i\sqrt{3}$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 + 2z + 6 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=2, c=6$.
Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-20} = \sqrt{20 \cdot (-1)} = 2\sqrt{5}i$.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}i}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}i}{2} = -1 \pm \sqrt{5}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -1 + \sqrt{5}i$ и $z_2 = -1 - \sqrt{5}i$.
Ответ: $z_{1,2} = -1 \pm i\sqrt{5}$.

5) Решим кубическое уравнение $z^3 + 27 = 0$.
Перепишем уравнение как $z^3 = -27$. Мы ищем кубические корни из -27.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$z^3 + 3^3 = (z+3)(z^2 - 3z + 9) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $z+3 = 0 \implies z_1 = -3$.
2) $z^2 - 3z + 9 = 0$. Решим это квадратное уравнение.
$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-27} = 3\sqrt{3}i$.
$z = \frac{-(-3) \pm 3\sqrt{3}i}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$.
Таким образом, $z_2 = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$ и $z_3 = \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$.
Ответ: $z_1 = -3$, $z_2 = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $z_3 = \frac{3}{2} - i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

6) Решим кубическое уравнение $z^3 = 8$.
Перепишем уравнение как $z^3 - 8 = 0$. Мы ищем кубические корни из 8.
Используем формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$z^3 - 2^3 = (z-2)(z^2 + 2z + 4) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
1) $z-2 = 0 \implies z_1 = 2$.
2) $z^2 + 2z + 4 = 0$. Решим это квадратное уравнение.
$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-12} = 2\sqrt{3}i$.
$z = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$.
Таким образом, $z_2 = -1 + \sqrt{3}i$ и $z_3 = -1 - \sqrt{3}i$.
Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = -1 + i\sqrt{3}$, $z_3 = -1 - i\sqrt{3}$.

647. Составить приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень, и проверить ответ, решив полученное уравнение:

1) $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i;$

2) $z_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i;$

3) $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{5}i;$

4) $z_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}i.$

Основная идея решения: Если приведённое квадратное уравнение $z^2 + pz + q = 0$ имеет действительные коэффициенты $p$ и $q$, и один из его корней является комплексным числом $z_1 = a + bi$, то второй корень $z_2$ обязательно будет ему комплексно-сопряжённым, то есть $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$.

Коэффициенты $p$ и $q$ можно найти, используя теорему Виета:

• $z_1 + z_2 = -p$
• $z_1 \cdot z_2 = q$

Отсюда $p = -(z_1 + z_2) = -2a$ и $q = z_1 \cdot z_2 = a^2+b^2$.

Дан корень $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i$.

Поскольку коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно-сопряжённым к $z_1$: $z_2 = \overline{z_1} = 2 - \frac{1}{2}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$ для уравнения $z^2+pz+q=0$ по теореме Виета:
$p = -(z_1 + z_2) = -((2 + \frac{1}{2}i) + (2 - \frac{1}{2}i)) = -(2 + 2) = -4$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (2 + \frac{1}{2}i)(2 - \frac{1}{2}i) = 2^2 - (\frac{1}{2}i)^2 = 4 - \frac{1}{4}i^2 = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Таким образом, искомое приведённое квадратное уравнение: $z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{17}{4} = 16 - 17 = -1$.
Корни уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm i}{2}$.
Получаем корни $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i$ и $z_2 = 2 - \frac{1}{2}i$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.

Дан корень $z_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)) = -(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = -1$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i)(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2}i)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Искомое уравнение: $z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 2 = -1$.
Корни уравнения: $z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i}{2}$.
Получаем корни $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ и $z_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.

Дан корень $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{5}i$.

Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = \sqrt{2} + \sqrt{5}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((\sqrt{2} - \sqrt{5}i) + (\sqrt{2} + \sqrt{5}i)) = -(\sqrt{2} + \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{2} - \sqrt{5}i)(\sqrt{2} + \sqrt{5}i) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 2 - 5i^2 = 2 + 5 = 7$.

Искомое уравнение: $z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.
Дискриминант: $D = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 8 - 28 = -20$.
Корни уравнения: $z = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{-20}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{2} \pm i\sqrt{20}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2i\sqrt{5}}{2} = \sqrt{2} \pm i\sqrt{5}$.
Получаем корни $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{5}$ и $z_2 = \sqrt{2} - i\sqrt{5}$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.

Дан корень $z_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}i$.

Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = -\sqrt{6} - \sqrt{3}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((-\sqrt{6} + \sqrt{3}i) + (-\sqrt{6} - \sqrt{3}i)) = -(-\sqrt{6} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (-\sqrt{6} + \sqrt{3}i)(-\sqrt{6} - \sqrt{3}i) = (-\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 6 - 3i^2 = 6 + 3 = 9$.

Искомое уравнение: $z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.
Дискриминант: $D = (2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 24 - 36 = -12$.
Корни уравнения: $z = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{6} \pm i\sqrt{12}}{2} = \frac{-2\sqrt{6} \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{6} \pm i\sqrt{3}$.
Получаем корни $z_1 = -\sqrt{6} + i\sqrt{3}$ и $z_2 = -\sqrt{6} - i\sqrt{3}$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.