Страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

630. Доказать, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.

Чтобы доказать данное утверждение, мы можем рассмотреть комплексное число $z$ в различных формах представления. Приведем два наиболее распространенных способа доказательства.

Способ 1: Через алгебраическую форму

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Модуль комплексного числа $|z|$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

По условию задачи $|z|=1$, что означает $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$. Возводя обе части уравнения в квадрат, мы получаем важное соотношение: $x^2 + y^2 = 1$.

Комплексно-сопряженное число к $z$ равно $\bar{z} = x - iy$.

Теперь рассмотрим выражение $\frac{1}{z}$. Чтобы избавиться от комплексности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $x - iy$:

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy} = \frac{1 \cdot (x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x - iy}{x^2 - (iy)^2} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} $$

Используя полученное ранее соотношение $x^2 + y^2 = 1$, подставим его в знаменатель:

$$ \frac{1}{z} = \frac{x - iy}{1} = x - iy $$

Сравнивая результат с выражением для $\bar{z}$, мы видим, что $\frac{1}{z} = \bar{z}$, что и требовалось доказать.

Способ 2: Через свойство модуля

Этот способ является более коротким. Воспользуемся основным свойством, связывающим любое комплексное число $z$, его сопряженное $\bar{z}$ и его модуль $|z|$:

$$ z \cdot \bar{z} = |z|^2 $$

Согласно условию задачи, $|z| = 1$. Следовательно, $|z|^2 = 1^2 = 1$.

Подставим это значение в свойство:

$$ z \cdot \bar{z} = 1 $$

Поскольку $|z| = 1$, число $z$ не может быть равно нулю ($z \neq 0$), поэтому мы имеем право разделить обе части уравнения на $z$:

$$ \bar{z} = \frac{1}{z} $$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.

631. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $ - \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i);$

2) $ -5 (\cos 40^{\circ} + i \sin 40^{\circ});$

3) $1 + \cos \alpha + i \sin \alpha, 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2};$

4) $1 + \cos \frac{12\pi}{7} + i \sin \frac{12\pi}{7}.$

1)Запишем комплексное число $z = -\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ в алгебраической форме $z = x + iy$:

$z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Отсюда, действительная часть $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и мнимая часть $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем модуль комплексного числа $r = |z|$:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем аргумент $\varphi = \arg(z)$, для которого $\cos\varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{y}{r}$:

$\cos\varphi = \frac{-\sqrt{2}/2}{1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{-\sqrt{2}/2}{1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус и синус которого равны $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, находится в третьей четверти. Таким углом является $\varphi = \frac{5\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Подставляя найденные значения $r$ и $\varphi$, получаем:

$z = 1 \cdot \left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}$.

2)Дано число $z = -5(\cos 40^\circ + i\sin 40^\circ)$.

Данное выражение не является тригонометрической формой, так как модуль комплексного числа $r$ должен быть неотрицательным, а множитель перед скобками равен -5.

Чтобы привести число к тригонометрической форме, внесем -1 в скобки:

$z = 5 \cdot (-1) \cdot (\cos 40^\circ + i\sin 40^\circ) = 5(-\cos 40^\circ - i\sin 40^\circ)$.

Теперь нам нужно найти угол $\varphi$, такой что $\cos\varphi = -\cos 40^\circ$ и $\sin\varphi = -\sin 40^\circ$. Используем формулы приведения:

$\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$

$\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$

Отсюда следует, что $\varphi = 180^\circ + 40^\circ = 220^\circ$.

Модуль числа $r=5$, а аргумент $\varphi=220^\circ$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 5(\cos 220^\circ + i\sin 220^\circ)$.

Ответ: $5(\cos 220^\circ + i\sin 220^\circ)$.

3)Дано число $z = 1 + \cos\alpha + i\sin\alpha$, где $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Действительная часть $x = 1 + \cos\alpha$, мнимая часть $y = \sin\alpha$.

Найдем модуль $r = |z|$:

$r = \sqrt{(1+\cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha} = \sqrt{1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = \sqrt{2 + 2\cos\alpha}$.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$:

$r = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{4\cos^2\frac{\alpha}{2}} = 2\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right|$.

По условию $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, следовательно $0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{4}$. В этом интервале $\cos\frac{\alpha}{2} \ge 0$, поэтому $\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| = \cos\frac{\alpha}{2}$. Таким образом, модуль $r = 2\cos\frac{\alpha}{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{1+\cos\alpha}{2\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos\frac{\alpha}{2}} = \cos\frac{\alpha}{2}$.

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sin\alpha}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

$\sin\varphi = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos\frac{\alpha}{2}} = \sin\frac{\alpha}{2}$.

Из равенств $\cos\varphi = \cos\frac{\alpha}{2}$ и $\sin\varphi = \sin\frac{\alpha}{2}$ следует, что $\varphi = \frac{\alpha}{2}$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + i\sin\frac{\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + i\sin\frac{\alpha}{2}\right)$.

4)Дано число $z = 1 + \cos\frac{12\pi}{7} + i\sin\frac{12\pi}{7}$.

Эта задача является частным случаем предыдущей при $\alpha = \frac{12\pi}{7}$. Воспользуемся общей формулой, полученной в пункте 3:

$z = 2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + i\sin\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим $\alpha = \frac{12\pi}{7}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{6\pi}{7}$. Получаем:

$z = 2\cos\frac{6\pi}{7}\left(\cos\frac{6\pi}{7} + i\sin\frac{6\pi}{7}\right)$.

Это выражение не является тригонометрической формой, так как угол $\frac{6\pi}{7}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{6\pi}{7} < \pi$), где косинус отрицателен. Следовательно, множитель $2\cos\frac{6\pi}{7}$ отрицателен.

Модуль числа $r = |z|$ должен быть положительным: $r = |2\cos\frac{6\pi}{7}| = -2\cos\frac{6\pi}{7}$.

Преобразуем выражение для $z$:

$z = \left(-2\cos\frac{6\pi}{7}\right)\left(-\cos\frac{6\pi}{7} - i\sin\frac{6\pi}{7}\right)$.

Найдем новый аргумент $\varphi$, для которого $\cos\varphi = -\cos\frac{6\pi}{7}$ и $\sin\varphi = -\sin\frac{6\pi}{7}$. Это соответствует повороту на угол $\pi$:

$\varphi = \frac{6\pi}{7} + \pi = \frac{13\pi}{7}$.

Упростим выражение для модуля, используя формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$:

$r = -2\cos\frac{6\pi}{7} = -2\cos\left(\pi - \frac{\pi}{7}\right) = -2\left(-\cos\frac{\pi}{7}\right) = 2\cos\frac{\pi}{7}$.

Тригонометрическая форма числа:

$z = 2\cos\frac{\pi}{7}\left(\cos\frac{13\pi}{7} + i\sin\frac{13\pi}{7}\right)$.

Ответ: $2\cos\frac{\pi}{7}\left(\cos\frac{13\pi}{7} + i\sin\frac{13\pi}{7}\right)$.