Страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

624. Найти все аргументы комплексного числа:

1) $z = 7;$

2) $z = -4;$

3) $z = i;$

4) $z = -3i;$

5) $z = -1 + i;$

6) $z = \sqrt{3} + i;$

7) $z = 2 - 2i;$

8) $z = -1 - \sqrt{3}i.$

Аргументом комплексного числа $z = x + iy$ называется угол $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и вектором, идущим из начала координат в точку $(x, y)$ на комплексной плоскости. Аргумент определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого, кратного $2\pi$. Обычно находят главный аргумент $\arg z$, который принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Тогда все аргументы $\text{Arg } z$ можно найти по формуле $\text{Arg } z = \arg z + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Главный аргумент $\varphi = \arg z$ можно найти из системы уравнений: $ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{x}{|z|} \\ \sin \varphi = \frac{y}{|z|} \end{cases} $ , где $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ — модуль комплексного числа.

Для комплексного числа $z = 7$ действительная часть $x=7$, а мнимая часть $y=0$. Это число является действительным и положительным, поэтому оно лежит на положительной части действительной оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен 0. Таким образом, главный аргумент $\arg z = 0$. Все аргументы числа $z=7$ находятся по формуле $\text{Arg } z = 0 + 2\pi k = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для комплексного числа $z = -4$ действительная часть $x=-4$, а мнимая часть $y=0$. Это число является действительным и отрицательным, поэтому оно лежит на отрицательной части действительной оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен $\pi$. Таким образом, главный аргумент $\arg z = \pi$. Все аргументы числа $z=-4$ находятся по формуле $\text{Arg } z = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для комплексного числа $z = i$ действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=1$. Это число является чисто мнимым с положительной мнимой частью, поэтому оно лежит на положительной части мнимой оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, главный аргумент $\arg z = \frac{\pi}{2}$. Все аргументы числа $z=i$ находятся по формуле $\text{Arg } z = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для комплексного числа $z = -3i$ действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=-3$. Это число является чисто мнимым с отрицательной мнимой частью, поэтому оно лежит на отрицательной части мнимой оси. Угол, который образует вектор этого числа с положительным направлением действительной оси, равен $-\frac{\pi}{2}$. Таким образом, главный аргумент $\arg z = -\frac{\pi}{2}$. Все аргументы числа $z=-3i$ находятся по формуле $\text{Arg } z = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для комплексного числа $z = -1 + i$ имеем $x=-1$, $y=1$. Число находится во второй координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус отрицателен, а синус положителен, равен $\varphi = \frac{3\pi}{4}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для комплексного числа $z = \sqrt{3} + i$ имеем $x=\sqrt{3}$, $y=1$. Число находится в первой координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус и синус положительны, равен $\varphi = \frac{\pi}{6}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для комплексного числа $z = 2 - 2i$ имеем $x=2$, $y=-2$. Число находится в четвертой координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус положителен, а синус отрицателен, равен $\varphi = -\frac{\pi}{4}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для комплексного числа $z = -1 - \sqrt{3}i$ имеем $x=-1$, $y=-\sqrt{3}$. Число находится в третьей координатной четверти. Найдем модуль числа: $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Найдем главный аргумент $\varphi$ из системы: $\cos \varphi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{2}$ $\sin \varphi = \frac{y}{|z|} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ Угол $\varphi$ из промежутка $(-\pi, \pi]$, для которого косинус и синус отрицательны, равен $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$. Все аргументы: $\text{Arg } z = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

625. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $z = 3;$

2) $z = -1;$

3) $z = 3 + 3i;$

4) $z = -2 + 2\sqrt{3}i;$

5) $z = -1 - \sqrt{3}i;$

6) $z = 5 - 5i;$

7) $z = \sqrt{5}(\cos{\frac{\pi}{3}} - i\sin{\frac{\pi}{3}});$

8) $z = -\cos{\frac{\pi}{7}} - i\sin{\frac{\pi}{7}}.$

Тригонометрическая форма комплексного числа $z = a + bi$ имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент, который находится из системы уравнений $\cos\varphi = \frac{a}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{b}{r}$.

1) $z = 3$

Здесь действительная часть $a = 3$, а мнимая часть $b = 0$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
Найдем аргумент:
$\cos\varphi = \frac{3}{3} = 1$
$\sin\varphi = \frac{0}{3} = 0$
Этим условиям соответствует угол $\varphi = 0$.

Ответ: $z = 3(\cos 0 + i\sin 0)$

2) $z = -1$

Здесь $a = -1$, $b = 0$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{-1}{1} = -1$
$\sin\varphi = \frac{0}{1} = 0$
Этим условиям соответствует угол $\varphi = \pi$.

Ответ: $z = \cos\pi + i\sin\pi$

3) $z = 3 + 3i$

Здесь $a = 3$, $b = 3$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, точка находится в I четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $z = 3\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

4) $z = -2 + 2\sqrt{3}i$

Здесь $a = -2$, $b = 2\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{16} = 4$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\sin\varphi = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Поскольку $a < 0$ и $b > 0$, точка находится во II четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $z = 4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$

5) $z = -1 - \sqrt{3}i$

Здесь $a = -1$, $b = -\sqrt{3}$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$
$\sin\varphi = \frac{-\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Поскольку $a < 0$ и $b < 0$, точка находится в III четверти. Угол можно найти как $\varphi = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ или как $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$. Выберем положительное значение.

Ответ: $z = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$

6) $z = 5 - 5i$

Здесь $a = 5$, $b = -5$.
Модуль числа:
$r = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
Аргумент:
$\cos\varphi = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, точка находится в IV четверти. Угол равен $\varphi = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).

Ответ: $z = 5\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

7) $z = \sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

Стандартная тригонометрическая форма имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. В данном выражении перед синусом стоит знак минус. Чтобы привести его к стандартному виду, используем свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$).
$z = \sqrt{5}\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{5}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
Теперь число представлено в стандартной форме с модулем $r = \sqrt{5}$ и аргументом $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $z = \sqrt{5}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

8) $z = -\cos\frac{\pi}{7} - i\sin\frac{\pi}{7}$

В тригонометрической форме модуль $r$ должен быть положительным. Вынесем $-1$ за скобки:
$z = -1 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{7} + i\sin\frac{\pi}{7}\right)$.
Число $-1$ в тригонометрической форме это $1 \cdot (\cos\pi + i\sin\pi)$.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Модуль итогового числа: $r = 1 \cdot 1 = 1$.
Аргумент итогового числа: $\varphi = \pi + \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi}{7}$.
Таким образом, получаем:
$z = 1 \cdot \left(\cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7}\right)$.

Ответ: $z = \cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7}$

626. Записать в алгебраической форме комплексное число:

1) $\cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3}$;

2) $3(\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$;

3) $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}\right)$;

4) $4\left(\cos \frac{9\pi}{2} + i\sin \frac{9\pi}{2}\right)$;

5) $\cos \frac{7\pi}{6} + i\sin \frac{7\pi}{6}$;

6) $\cos \frac{13\pi}{3} + i\sin \frac{13\pi}{3}$.

1) $ \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} $

Чтобы записать комплексное число, заданное в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, в алгебраической форме $z = x + iy$, необходимо вычислить значения тригонометрических функций для указанного аргумента $\varphi$ и затем умножить их на модуль $r$.

В данном случае модуль $r=1$ и аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.

Находим действительную часть $x$ и мнимую часть $y$:

$x = \cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$y = \sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, комплексное число в алгебраической форме равно $z = \frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) $ 3(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) $

В этом случае модуль $r=3$ и аргумент $\varphi = 2\pi$.

Вычисляем значения тригонометрических функций:

$\cos 2\pi = 1$

$\sin 2\pi = 0$

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$z = 3(1 + i \cdot 0) = 3(1) = 3$.

Ответ: $3$

3) $ \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) $

Здесь модуль $r = \sqrt{2}$ и аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Находим действительную и мнимую части:

$x = \sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4} = \sqrt{2}\cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(-\cos\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{2}{2} = -1$

$y = \sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4} = \sqrt{2}\sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2}{2} = 1$

Записываем число в алгебраической форме:

$z = -1 + i \cdot 1 = -1 + i$.

Ответ: $-1 + i$

4) $ 4(\cos\frac{9\pi}{2} + i\sin\frac{9\pi}{2}) $

Модуль $r = 4$, аргумент $\varphi = \frac{9\pi}{2}$.

Аргумент можно упростить, используя периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$):

$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, значения косинуса и синуса будут такими же, как для угла $\frac{\pi}{2}$.

$\cos\frac{9\pi}{2} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$

$\sin\frac{9\pi}{2} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

Подставляем значения:

$z = 4(0 + i \cdot 1) = 4i$.

Ответ: $4i$

5) $ \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6} $

Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{6}$.

Находим действительную и мнимую части:

$x = \cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

Записываем число в алгебраической форме:

$z = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

6) $ \cos\frac{13\pi}{3} + i\sin\frac{13\pi}{3} $

Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = \frac{13\pi}{3}$.

Упростим аргумент:

$\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.

Вычисляем значения тригонометрических функций:

$x = \cos\frac{13\pi}{3} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$y = \sin\frac{13\pi}{3} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Записываем число в алгебраической форме:

$z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

627. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $\cos \frac{\pi}{9} - i \sin \frac{\pi}{9};$

2) $12\left(-\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}\right);$

3) $\sqrt{2}\left(-\cos \frac{\pi}{7} - i \sin \frac{\pi}{7}\right);$

4) $3\left(\sin \frac{\pi}{5} + i \cos \frac{\pi}{5}\right).$

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль комплексного числа ($r \ge 0$), а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.

Дано комплексное число $z = \cos\frac{\pi}{9} - i\sin\frac{\pi}{9}$.

Найдем модуль числа: $r = \sqrt{(\cos\frac{\pi}{9})^2 + (-\sin\frac{\pi}{9})^2} = \sqrt{\cos^2\frac{\pi}{9} + \sin^2\frac{\pi}{9}} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем аргумент $\varphi$. Он должен удовлетворять условиям: $\cos\varphi = \cos\frac{\pi}{9}$ и $\sin\varphi = -\sin\frac{\pi}{9}$.

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:

$\cos(-\frac{\pi}{9}) = \cos\frac{\pi}{9}$

$\sin(-\frac{\pi}{9}) = -\sin\frac{\pi}{9}$

Следовательно, искомый аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{9}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 1 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9}))$.

Ответ: $\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9})$

Дано комплексное число $z = 12(-\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8})$.

Модуль числа $r = 12$. Аргумент $\varphi$ должен удовлетворять условиям $\cos\varphi = -\cos\frac{\pi}{8}$ и $\sin\varphi = \sin\frac{\pi}{8}$. Это соответствует углу во второй координатной четверти.

Используем формулы приведения для угла $(\pi - \alpha)$: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$.

При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем аргумент $\varphi = \pi - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{8}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 12(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8})$.

Ответ: $12(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8})$

Дано комплексное число $z = \sqrt{2}(-\cos\frac{\pi}{7} - i\sin\frac{\pi}{7})$.

Модуль числа $r=\sqrt{2}$. Аргумент $\varphi$ должен удовлетворять условиям $\cos\varphi = -\cos\frac{\pi}{7}$ и $\sin\varphi = -\sin\frac{\pi}{7}$. Отрицательные значения косинуса и синуса соответствуют углу в третьей координатной четверти.

Используем формулы приведения для угла $(\pi + \alpha)$: $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$.

При $\alpha = \frac{\pi}{7}$ получаем аргумент $\varphi = \pi + \frac{\pi}{7} = \frac{8\pi}{7}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = \sqrt{2}(\cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7})$.

Ответ: $\sqrt{2}(\cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7})$

Дано комплексное число $z = 3(\sin\frac{\pi}{5} + i\cos\frac{\pi}{5})$.

Модуль числа $r=3$. Аргумент $\varphi$ должен удовлетворять условиям $\cos\varphi = \sin\frac{\pi}{5}$ и $\sin\varphi = \cos\frac{\pi}{5}$.

Используем формулы приведения для дополнительных углов: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$.

При $\alpha = \frac{\pi}{5}$ получаем аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi - 2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos\frac{3\pi}{10} + i\sin\frac{3\pi}{10})$.

Ответ: $3(\cos\frac{3\pi}{10} + i\sin\frac{3\pi}{10})$

628. Число $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ можно выразить через тригонометрические функции следующим образом:

1) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}$;

2) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\frac{5\pi}{3}$;

3) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

4) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

5) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}$.

Какая из этих записей является тригонометрической формой комплексного числа?

Для того чтобы определить, какая из записей является тригонометрической формой комплексного числа $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, необходимо представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.

Сначала найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$ комплексного числа $z = x + yi$, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Модуль числа: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент $\varphi$ найдем из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$

$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этих уравнений следует, что угол $\varphi$ находится в IV координатной четверти. Общее решение для $\varphi$ имеет вид $\varphi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Например, при $k=0$ получаем $\varphi = -\frac{\pi}{3}$ (главное значение аргумента), а при $k=1$ получаем $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.

Следовательно, тригонометрическая форма числа $z$ это $z = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})$ или $z = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}$

Эта запись имеет каноническую тригонометрическую форму $r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ с $r=1$ и $\varphi = \frac{5\pi}{3}$. Проверим равенство: $\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть равна $\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Равенство верно, и форма записи правильная.

Ответ: Запись является тригонометрической формой данного комплексного числа.

2) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos(-\frac{5\pi}{3}) + i\sin(-\frac{5\pi}{3})$

Проверим правую часть: $\cos(-\frac{5\pi}{3}) = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin(-\frac{5\pi}{3}) = -\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть равна $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, что не соответствует исходному числу.

Ответ: Запись не является представлением данного комплексного числа, так как равенство не выполняется.

3) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})$

Эта запись имеет каноническую тригонометрическую форму с $r=1$ и $\varphi = -\frac{\pi}{3}$. Проверим равенство: $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Правая часть равна $\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Равенство верно, и форма записи правильная.

Ответ: Запись является тригонометрической формой данного комплексного числа.

4) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin(-\frac{\pi}{3})$

Эта запись не является тригонометрической формой, так как по определению аргументы у косинуса и синуса должны быть одинаковыми, а здесь они разные ($\frac{5\pi}{3} \neq -\frac{\pi}{3}$). Несмотря на то, что числовое равенство верно, форма записи некорректна.

Ответ: Запись не является тригонометрической формой.

5) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}$

Эта запись не является канонической тригонометрической формой, так как между действительной и мнимой частями стоит знак минус, а должен быть плюс. Хотя равенство верно ($\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$), форма записи не соответствует стандартной.

Ответ: Запись не является канонической тригонометрической формой.

Таким образом, на вопрос "Какая из этих записей является тригонометрической формой комплексного числа?" правильными ответами являются варианты 1 и 3, так как оба удовлетворяют условиям как по форме, так и по значению.

629. Представить в тригонометрической форме комплексное число:

1) $\frac{5 - i}{2 - 3i}$;

2) $\frac{i}{(1+i)^2}$;

3) $\frac{1+\sqrt{3}i}{i^3}$;

4) $\frac{(1+i)(2+i^5)}{3-i^{13}}$.

1)

Чтобы представить комплексное число $z = \frac{5 - i}{2 - 3i}$ в тригонометрической форме, сначала приведем его к алгебраической форме $z = a + bi$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное число для $2 - 3i$ — это $2 + 3i$.

$z = \frac{5 - i}{2 - 3i} = \frac{(5 - i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} = \frac{5 \cdot 2 + 5 \cdot 3i - i \cdot 2 - i \cdot 3i}{2^2 - (3i)^2}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе, учитывая, что $i^2 = -1$:

$z = \frac{10 + 15i - 2i - 3i^2}{4 - 9i^2} = \frac{10 + 13i - 3(-1)}{4 - 9(-1)} = \frac{10 + 13i + 3}{4 + 9} = \frac{13 + 13i}{13} = 1 + i$.

Итак, мы получили число в алгебраической форме $z = 1 + i$, где действительная часть $a=1$ и мнимая часть $b=1$.

Теперь найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$ этого комплексного числа.

Модуль $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент $\varphi$ определяется из системы уравнений:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как косинус и синус положительны, угол $\varphi$ находится в первой четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма комплексного числа: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. Подставляя найденные значения, получаем:

$z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

2)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{i}{(1 + i)^2}$. Сначала упростим выражение, приведя его к форме $a + bi$.

Возведем в квадрат знаменатель: $(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$z = \frac{i}{2i} = \frac{1}{2}$.

Полученное число является действительным, его можно записать в алгебраической форме как $z = \frac{1}{2} + 0i$. Здесь $a = \frac{1}{2}$ и $b=0$.

Найдем модуль и аргумент.

Модуль $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{1/2}{1/2} = 1$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{1/2} = 0$

Этим условиям соответствует угол $\varphi = 0$.

Запишем число в тригонометрической форме:

$z = \frac{1}{2}(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 0 + i \sin 0)$.

3)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{i^3}$. Упростим его до вида $a+bi$.

Найдем значение $i^3$: $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.

Подставим в выражение: $z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{-i}$.

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$z = \frac{(1 + \sqrt{3}i) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i + \sqrt{3}i^2}{-i^2} = \frac{i - \sqrt{3}}{-(-1)} = i - \sqrt{3}$.

В алгебраической форме $z = -\sqrt{3} + i$. Здесь $a = -\sqrt{3}$ и $b = 1$.

Найдем модуль и аргумент.

Модуль $r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{2}$

Так как косинус отрицателен, а синус положителен, угол $\varphi$ находится во второй четверти. Соответствующий угол равен $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Запишем число в тригонометрической форме:

$z = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})$.

Ответ: $2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})$.

4)

Рассмотрим комплексное число $z = \frac{(1 + i)(2 + i^5)}{3 - i^{13}}$. Сначала упростим степени мнимой единицы $i$.

Степени $i$ повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$.

$i^5 = i^{4 \cdot 1 + 1} = i^1 = i$.

$i^{13} = i^{4 \cdot 3 + 1} = i^1 = i$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$z = \frac{(1 + i)(2 + i)}{3 - i}$.

Теперь упростим числитель:

$(1 + i)(2 + i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + i \cdot 2 + i \cdot i = 2 + 3i + i^2 = 2 + 3i - 1 = 1 + 3i$.

Получаем дробь $z = \frac{1 + 3i}{3 - i}$.

Приведем ее к форме $a+bi$, умножив на сопряженное к знаменателю число $3+i$:

$z = \frac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot i + 3i \cdot 3 + 3i \cdot i}{3^2 - i^2} = \frac{3 + i + 9i + 3i^2}{9 - (-1)} = \frac{3 + 10i - 3}{10} = \frac{10i}{10} = i$.

В алгебраической форме $z = 0 + 1 \cdot i$. Здесь $a = 0$ и $b = 1$.

Найдем модуль и аргумент.

Модуль $r = |z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент $\varphi$ найдем из условий:

$\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{1} = 0$

$\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{1} = 1$

Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Запишем число в тригонометрической форме:

$z = 1 \cdot (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.