Страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

633. Найти частное:

1) $\frac{\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}}{\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}}$;

2) $\frac{8\left( \cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4} \right)}{2\left( \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} \right)}$;

3) $\frac{\sqrt{3}\left( \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right)}{\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)}$;

4) $\frac{\cos 30^{\circ} + i\sin 30^{\circ}}{2(\cos (-15^{\circ}) + i\sin (-15^{\circ}))}$;

5) $\frac{\sqrt{12}(\cos 20^{\circ} + i\sin 20^{\circ})}{\sqrt{3}(\cos 50^{\circ} + i\sin 50^{\circ})}$;

6) $\frac{\cos 7 + i\sin 7}{\cos 2 + i\sin 2}$.

Для нахождения частного двух комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ используется формула:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

1) Дано выражение $\frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}}$.

Здесь модули $r_1 = 1$, $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = \frac{\pi}{2}$, $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$.

Применяем формулу деления:

$\frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) + i\sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})$.

Вычисляем значения косинуса и синуса:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, частное равно $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

2) Дано выражение $\frac{8(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4})}{2(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})}$.

Здесь модули $r_1 = 8$, $r_2 = 2$, а аргументы $\varphi_1 = \frac{5\pi}{4}$, $\varphi_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Применяем формулу деления:

$\frac{8}{2}(\cos(\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4})) = 4(\cos(\frac{2\pi}{4}) + i\sin(\frac{2\pi}{4})) = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Вычисляем значения косинуса и синуса:

$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Следовательно, частное равно $4(0 + i \cdot 1) = 4i$.

Ответ: $4i$.

3) Дано выражение $\frac{\sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))}{\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})}$.

Здесь модули $r_1 = \sqrt{3}$, $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = -\frac{\pi}{3}$, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Применяем формулу деления:

$\sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(-\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}))) = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})) = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций ($\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$\sqrt{3}(\cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6}))$.

Вычисляем значения: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, частное равно $\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Дано выражение $\frac{\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ}{2(\cos(-15^\circ) + i\sin(-15^\circ))}$.

Здесь модули $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, а аргументы $\varphi_1 = 30^\circ$, $\varphi_2 = -15^\circ$.

Применяем формулу деления:

$\frac{1}{2}(\cos(30^\circ - (-15^\circ)) + i\sin(30^\circ - (-15^\circ))) = \frac{1}{2}(\cos(45^\circ) + i\sin(45^\circ))$.

Вычисляем значения: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, частное равно $\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}}{4}$.

5) Дано выражение $\frac{\sqrt{12}(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)}{\sqrt{3}(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)}$.

Здесь модули $r_1 = \sqrt{12}$, $r_2 = \sqrt{3}$, а аргументы $\varphi_1 = 20^\circ$, $\varphi_2 = 50^\circ$.

Находим отношение модулей: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.

Применяем формулу деления:

$2(\cos(20^\circ - 50^\circ) + i\sin(20^\circ - 50^\circ)) = 2(\cos(-30^\circ) + i\sin(-30^\circ))$.

Используя свойства чётности и нечётности, получаем: $2(\cos(30^\circ) - i\sin(30^\circ))$.

Вычисляем значения: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, частное равно $2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$.

Ответ: $\sqrt{3} - i$.

6) Дано выражение $\frac{\cos 7 + i\sin 7}{\cos 2 + i\sin 2}$. Углы даны в радианах.

Здесь модули $r_1 = 1$, $r_2 = 1$, а аргументы $\varphi_1 = 7$, $\varphi_2 = 2$.

Применяем формулу деления:

$\cos(7 - 2) + i\sin(7 - 2) = \cos 5 + i\sin 5$.

Так как 5 не является стандартным значением угла, для которого известны простые выражения через радикалы, ответ оставляем в тригонометрической форме.

Ответ: $\cos 5 + i\sin 5$.

634. Возвести в степень комплексное число:

1) $2(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})^3$;

2) $(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})^6$;

3) $(\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}))^4$;

4) $(\cos(-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6}))^9$.

Для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, в натуральную степень используется формула Муавра:
$ [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) $
где $r$ - модуль комплексного числа, $\varphi$ - его аргумент, а $n$ - показатель степени.

1) Дано выражение $(2(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}))^3$.
Здесь $r=2$, $\varphi=\frac{4\pi}{3}$, $n=3$.
Применяем формулу Муавра:
$ 2^3(\cos(3 \cdot \frac{4\pi}{3}) + i\sin(3 \cdot \frac{4\pi}{3})) = 8(\cos(4\pi) + i\sin(4\pi)) $
Вычисляем значения тригонометрических функций. Угол $4\pi$ соответствует полному обороту в $2 \cdot 2\pi$, поэтому он эквивалентен углу $0$.
$ \cos(4\pi) = \cos(0) = 1 $
$ \sin(4\pi) = \sin(0) = 0 $
Подставляем значения в выражение:
$ 8(1 + i \cdot 0) = 8 $
Ответ: $8$.

2) Дано выражение $(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})^6$.
Здесь $r=1$, $\varphi=\frac{\pi}{6}$, $n=6$.
Применяем формулу Муавра:
$ 1^6(\cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6})) = 1(\cos\pi + i\sin\pi) $
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$ \cos\pi = -1 $
$ \sin\pi = 0 $
Подставляем значения в выражение:
$ -1 + i \cdot 0 = -1 $
Ответ: $-1$.

3) Дано выражение $(\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}))^4$.
Здесь $r=\frac{1}{2}$, $\varphi=\frac{\pi}{8}$, $n=4$.
Применяем формулу Муавра:
$ (\frac{1}{2})^4(\cos(4 \cdot \frac{\pi}{8}) + i\sin(4 \cdot \frac{\pi}{8})) = \frac{1}{16}(\cos\frac{4\pi}{8} + i\sin\frac{4\pi}{8}) = \frac{1}{16}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) $
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $
$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $
Подставляем значения в выражение:
$ \frac{1}{16}(0 + i \cdot 1) = \frac{1}{16}i $
Ответ: $\frac{1}{16}i$.

4) Дано выражение $(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))^9$.
Здесь $r=1$, $\varphi=-\frac{\pi}{6}$, $n=9$.
Применяем формулу Муавра:
$ 1^9(\cos(9 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(9 \cdot (-\frac{\pi}{6}))) = \cos(-\frac{9\pi}{6}) + i\sin(-\frac{9\pi}{6}) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3\pi}{2}) $
Упростим аргумент. Угол $-\frac{3\pi}{2}$ совпадает с углом $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{-3\pi+4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, выражение можно переписать как:
$ \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) $
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $
$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $
Подставляем значения:
$ 0 + i \cdot 1 = i $
Ответ: $i$.

635. Выполнить действия и записать результат в алгебраической форме:

1) $\frac{i \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)}{\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}};$

2) $\frac{1}{\cos \frac{4\pi}{3} - i \sin \frac{4\pi}{3}};$

3) $\frac{\left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right) (1 + \sqrt{3}i)^7}{i};$

4) $\frac{\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right)}{1 - i};$

5) $\left( \frac{i^8 + \sqrt{3}i^5}{4} \right)^5;$

6) $\frac{(2i)^7}{(-\sqrt{2} + i\sqrt{2})^6}.$

1) $\frac{i(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}}$

Для решения этой задачи удобно использовать показательную форму комплексного числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi) = re^{i\phi}$.

Представим каждое комплексное число в показательной форме.

Числитель: $i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

$\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = e^{i\frac{5\pi}{3}}$.

Таким образом, числитель равен $e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{5\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{3})} = e^{i(\frac{3\pi+10\pi}{6})} = e^{i\frac{13\pi}{6}}$.

Знаменатель: $\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{e^{i\frac{13\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = e^{i(\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6})} = e^{i\frac{12\pi}{6}} = e^{i2\pi}$.

Переведем результат обратно в алгебраическую форму:

$e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + i \cdot 0 = 1$.

Ответ: 1

2) $\frac{1}{\cos\frac{4\pi}{3} - i\sin\frac{4\pi}{3}}$

Используем формулу Эйлера и свойство четности косинуса и нечетности синуса: $\cos\phi - i\sin\phi = \cos(-\phi) + i\sin(-\phi) = e^{-i\phi}$.

Знаменатель: $\cos\frac{4\pi}{3} - i\sin\frac{4\pi}{3} = e^{-i\frac{4\pi}{3}}$.

Тогда все выражение равно:

$\frac{1}{e^{-i\frac{4\pi}{3}}} = e^{i\frac{4\pi}{3}}$.

Переведем в алгебраическую форму:

$e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$.

Вычислим значения синуса и косинуса:

$\cos\frac{4\pi}{3} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Результат: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) $(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3})(1 + i\sqrt{3})^7$

Представим оба множителя в показательной форме.

Первый множитель: $\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Второй множитель: $z = 1 + i\sqrt{3}$. Найдем его модуль и аргумент.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент: $\phi = \arg(z)$, $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Значит, $1 + i\sqrt{3} = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Возведем в степень 7 по формуле Муавра: $(2e^{i\frac{\pi}{3}})^7 = 2^7 e^{i\frac{7\pi}{3}} = 128e^{i\frac{7\pi}{3}}$.

Теперь перемножим оба множителя:

$e^{-i\frac{\pi}{3}} \cdot 128e^{i\frac{7\pi}{3}} = 128 e^{i(\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3})} = 128 e^{i\frac{6\pi}{3}} = 128 e^{i2\pi}$.

Переведем в алгебраическую форму: $128(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 128(1+0) = 128$.

Ответ: 128

4) $\frac{(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3})}{1-i}$

Рассмотрим числитель. Представим оба сомножителя в показательной форме.

Первый сомножитель: $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Второй сомножитель: $z_2 = \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Их произведение: $z_1 \cdot z_2 = e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})} = e^{i0} = 1$.

Таким образом, выражение упрощается до $\frac{1}{1-i}$.

Чтобы записать результат в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю число $(1+i)$:

$\frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1^2 - i^2} = \frac{1+i}{1 - (-1)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

5) $(\frac{i^8 + \sqrt{3}i^5}{4})^5$

Сначала упростим выражение в скобках. Вычислим степени мнимой единицы $i$:

$i^4 = 1$, поэтому $i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1$.

$i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

Подставим эти значения в выражение:

$(\frac{1 + \sqrt{3}i}{4})^5 = (\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4})^5$.

Для возведения в степень представим комплексное число $z = \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$ в показательной форме.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Аргумент: $\cos\phi = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}/4}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = \frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Возводим в пятую степень: $z^5 = (\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}})^5 = (\frac{1}{2})^5 e^{i\frac{5\pi}{3}} = \frac{1}{32}e^{i\frac{5\pi}{3}}$.

Переведем в алгебраическую форму: $\frac{1}{32}(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3})$.

$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Результат: $\frac{1}{32}(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{64} - i\frac{\sqrt{3}}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64} - i\frac{\sqrt{3}}{64}$

6) $\frac{(2i)^7}{(-\sqrt{2} + i\sqrt{2})^6}$

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $(2i)^7 = 2^7 \cdot i^7 = 128 \cdot i^{4+3} = 128 \cdot (i^4 \cdot i^3) = 128 \cdot (1 \cdot (-i)) = -128i$.

Знаменатель: $z = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Переведем в показательную форму.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент: $\cos\phi = \frac{-\sqrt{2}}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\phi = \frac{3\pi}{4}$.

Итак, $z = 2e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

Возводим в шестую степень: $z^6 = (2e^{i\frac{3\pi}{4}})^6 = 2^6 e^{i\frac{3\pi}{4} \cdot 6} = 64e^{i\frac{18\pi}{4}} = 64e^{i\frac{9\pi}{2}}$.

Упростим аргумент: $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Период $2\pi$ можно отбросить, поэтому $e^{i\frac{9\pi}{2}} = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i$.

Знаменатель равен $64i$.

Теперь выполним деление:

$\frac{-128i}{64i} = -2$.

Ответ: -2

636. Записать в тригонометрической форме результат действий:

1) $z = \frac{-1+i}{2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)}$;

2) $z = -3\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12}\right)^4$;

3) $z = \left(\frac{\sqrt{3}i+1}{i-1}\right)^6$;

4) $z = \left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{-2}$.

1) $z = \frac{-1+i}{2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})}$
Для того чтобы выполнить деление, представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме.
Числитель: $z_1 = -1+i$.
Найдем модуль и аргумент.
Модуль: $r_1 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Аргумент $\phi_1$: $\cos\phi_1 = \frac{-1}{\sqrt{2}}$, $\sin\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Точка $(-1, 1)$ находится во второй четверти, следовательно, $\phi_1 = \frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, $z_1 = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.
Знаменатель уже представлен в тригонометрической форме: $z_2 = 2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.
Его модуль $r_2 = 2$, аргумент $\phi_2 = \frac{\pi}{4}$.
При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:
$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.
$r = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\phi = \phi_1 - \phi_2 = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
В результате получаем: $z = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.
Ответ: $z = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.

2) $z = -3(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})^4$
Разобьем выражение на части.
Первая часть: $z_1 = -3(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.
Представим число $-3$ в тригонометрической форме: $-3 = 3(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Тогда $z_1 = 3(\cos\pi + i\sin\pi)(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.
При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются:
$r_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
$\phi_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
Итак, $z_1 = 3(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$.
Вторая часть: $z_2 = (\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})^4$.
Используя свойства четности косинуса и нечетности синуса, преобразуем выражение в скобках:
$\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12} = \cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12})$.
Теперь применим формулу Муавра $(r(\cos\phi + i\sin\phi))^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$:
$z_2 = (\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))^4 = \cos(4 \cdot (-\frac{\pi}{12})) + i\sin(4 \cdot (-\frac{\pi}{12})) = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})$.
Теперь перемножим $z_1$ и $z_2$:
$z = z_1 \cdot z_2 = 3(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}) \cdot (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Модуль итогового числа: $r = 3 \cdot 1 = 3$.
Аргумент: $\phi = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi - 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
В результате получаем: $z = 3(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.
Ответ: $z = 3(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

3) $z = \left( \frac{\sqrt{3}i + 1}{i-1} \right)^6 = \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{-1 + i} \right)^6$
Сначала преобразуем в тригонометрическую форму основание степени.
Числитель: $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$.
$r_1 = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
$\cos\phi_1 = \frac{1}{2}$, $\sin\phi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\phi_1 = \frac{\pi}{3}$.
$z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.
Знаменатель: $z_2 = -1 + i$.
$r_2 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos\phi_2 = \frac{-1}{\sqrt{2}}$, $\sin\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\phi_2 = \frac{3\pi}{4}$.
$z_2 = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.
Разделим $z_1$ на $z_2$:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{\sqrt{2}}(\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4})) = \sqrt{2}(\cos(\frac{4\pi-9\pi}{12}) + i\sin(\frac{4\pi-9\pi}{12})) = \sqrt{2}(\cos(-\frac{5\pi}{12}) + i\sin(-\frac{5\pi}{12}))$.
Теперь возведем результат в 6-ю степень по формуле Муавра:
$z = (\sqrt{2})^6 (\cos(6 \cdot (-\frac{5\pi}{12})) + i\sin(6 \cdot (-\frac{5\pi}{12})))$.
$(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^3 = 8$.
$6 \cdot (-\frac{5\pi}{12}) = -\frac{5\pi}{2}$.
$z = 8(\cos(-\frac{5\pi}{2}) + i\sin(-\frac{5\pi}{2}))$.
Приведем аргумент к значению в интервале $[0, 2\pi)$, прибавив $4\pi$ (два полных оборота):
$\phi = -\frac{5\pi}{2} + 4\pi = -\frac{5\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом, $z = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$.
Ответ: $z = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$.

4) $z = \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{-2}$
Представим основание степени $w = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ в тригонометрической форме.
Модуль: $r = |\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{3}$.
Итак, $w = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$.
Теперь возведем $w$ в степень $-2$ по формуле Муавра:
$z = w^{-2} = (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})^{-2} = \cos(-2 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(-2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})$.
Приведем аргумент к положительному значению, прибавив $2\pi$:
$\phi = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$.
Таким образом, $z = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $z = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$.