Страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

648. Решить уравнение:

1) $z^4 - 3z^2 - 4 = 0$;

2) $z^4 + 15z^2 - 16 = 0$.

1) $z^4 - 3z^2 - 4 = 0$
Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = z^2$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $z$.
1. Если $t = 4$, то $z^2 = 4$. Отсюда получаем два корня: $z_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.
2. Если $t = -1$, то $z^2 = -1$. Отсюда получаем еще два корня в поле комплексных чисел: $z_{3,4} = \pm\sqrt{-1} = \pm i$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z \in \{-2, 2, -i, i\}$.

2) $z^4 + 15z^2 - 16 = 0$
Это также биквадратное уравнение. Применим метод замены переменной.
Пусть $t = z^2$. Уравнение преобразуется к квадратному виду:
$t^2 + 15t - 16 = 0$
Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = -15$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -16$. Подбором находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -16$.
Либо решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$
Теперь вернемся к переменной $z$.
1. Если $t = 1$, то $z^2 = 1$. Корни: $z_{1,2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.
2. Если $t = -16$, то $z^2 = -16$. Корни: $z_{3,4} = \pm\sqrt{-16} = \pm\sqrt{16 \cdot (-1)} = \pm 4i$.
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z \in \{-1, 1, -4i, 4i\}$.

Разложить квадратный трёхчлен на множители (649–650).

649. 1) $z^2 - 4z + 5;$ 2) $z^2 + 4z + 13;$ 3) $z^2 + 2z + 4;$

4) $z^2 - 6z + 11.$

1) $z^2 - 4z + 5$

Для разложения данного квадратного трехчлена на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Поскольку дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$, действительных корней нет, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим член $-4z$ как $-2 \cdot z \cdot 2$. Для получения полного квадрата $(z-2)^2 = z^2 - 4z + 4$ необходимо добавить и вычесть 4:

$z^2 - 4z + 5 = (z^2 - 4z + 4) - 4 + 5 = (z-2)^2 + 1$

Используя мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$, мы можем представить 1 как $-i^2$. Тогда выражение преобразуется в разность квадратов:

$(z-2)^2 - (-1) = (z-2)^2 - i^2$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((z-2) - i)((z-2) + i) = (z - 2 - i)(z - 2 + i)$

Ответ: $(z - 2 - i)(z - 2 + i)$

2) $z^2 + 4z + 13$

Выделим полный квадрат в данном выражении. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим $4z$ как $2 \cdot z \cdot 2$. Для полного квадрата $(z+2)^2 = z^2 + 4z + 4$ добавим и вычтем 4:

$z^2 + 4z + 13 = (z^2 + 4z + 4) - 4 + 13 = (z+2)^2 + 9$

Так как $9 = -(-9) = -(3i)^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:

$(z+2)^2 - (3i)^2$

По формуле разности квадратов получаем:

$((z+2) - 3i)((z+2) + 3i) = (z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i)$

Ответ: $(z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i)$

3) $z^2 + 2z + 4$

Выделим полный квадрат. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим $2z$ как $2 \cdot z \cdot 1$. Для полного квадрата $(z+1)^2 = z^2 + 2z + 1$ добавим и вычтем 1:

$z^2 + 2z + 4 = (z^2 + 2z + 1) - 1 + 4 = (z+1)^2 + 3$

Так как $3 = -(-3) = -(i\sqrt{3})^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:

$(z+1)^2 - (i\sqrt{3})^2$

По формуле разности квадратов получаем:

$((z+1) - i\sqrt{3})((z+1) + i\sqrt{3}) = (z + 1 - i\sqrt{3})(z + 1 + i\sqrt{3})$

Ответ: $(z + 1 - i\sqrt{3})(z + 1 + i\sqrt{3})$

4) $z^2 - 6z + 11$

Выделим полный квадрат. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 < 0$, поэтому разложение будет в поле комплексных чисел.

Представим $-6z$ как $-2 \cdot z \cdot 3$. Для полного квадрата $(z-3)^2 = z^2 - 6z + 9$ добавим и вычтем 9:

$z^2 - 6z + 11 = (z^2 - 6z + 9) - 9 + 11 = (z-3)^2 + 2$

Так как $2 = -(-2) = -(i\sqrt{2})^2$, преобразуем выражение в разность квадратов:

$(z-3)^2 - (i\sqrt{2})^2$

По формуле разности квадратов получаем:

$((z-3) - i\sqrt{2})((z-3) + i\sqrt{2}) = (z - 3 - i\sqrt{2})(z - 3 + i\sqrt{2})$

Ответ: $(z - 3 - i\sqrt{2})(z - 3 + i\sqrt{2})$

650. 1) $4z^2 + 4z + 5$;

2) $16z^2 - 32z + 17$;

3) $25z^2 + 50z + 26$;

4) $-z^2 + 10z - 26$.

1) Чтобы преобразовать выражение $4z^2 + 4z + 5$, применим метод выделения полного квадрата.
Сначала вынесем коэффициент 4 за скобки у слагаемых, содержащих переменную $z$:
$4z^2 + 4z + 5 = 4(z^2 + z) + 5$.
Далее, в скобках, дополним выражение до полного квадрата. Для этого используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. У нас есть $z^2 + z$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $z$. Коэффициент при $z$ равен 1. Его половина равна $\frac{1}{2}$, а квадрат половины равен $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$4(z^2 + z + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5$.
Теперь сгруппируем первые три слагаемых в скобках, которые образуют полный квадрат:
$4((z^2 + z + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4}) + 5 = 4((z + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 5$.
Раскроем внешние скобки, умножив 4 на каждый член внутри:
$4(z + \frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 = 4(z + \frac{1}{2})^2 - 1 + 5$.
Приведем подобные слагаемые:
$4(z + \frac{1}{2})^2 + 4$.
Ответ: $4(z + \frac{1}{2})^2 + 4$.

2) Преобразуем выражение $16z^2 - 32z + 17$ методом выделения полного квадрата.
Вынесем коэффициент 16 за скобки:
$16(z^2 - 2z) + 17$.
В скобках дополним выражение до полного квадрата, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Коэффициент при $z$ равен -2. Его половина равна -1, а квадрат половины равен $(-1)^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 в скобках:
$16(z^2 - 2z + 1 - 1) + 17$.
Сгруппируем слагаемые в полный квадрат:
$16((z^2 - 2z + 1) - 1) + 17 = 16((z - 1)^2 - 1) + 17$.
Раскроем скобки:
$16(z - 1)^2 - 16 \cdot 1 + 17 = 16(z - 1)^2 - 16 + 17$.
Упростим выражение:
$16(z - 1)^2 + 1$.
Ответ: $16(z - 1)^2 + 1$.

3) Преобразуем выражение $25z^2 + 50z + 26$ методом выделения полного квадрата.
Вынесем коэффициент 25 за скобки:
$25(z^2 + 2z) + 26$.
В скобках дополним до полного квадрата. Коэффициент при $z$ равен 2. Его половина равна 1, а квадрат половины равен $1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1:
$25(z^2 + 2z + 1 - 1) + 26$.
Сгруппируем слагаемые в полный квадрат:
$25((z^2 + 2z + 1) - 1) + 26 = 25((z + 1)^2 - 1) + 26$.
Раскроем скобки:
$25(z + 1)^2 - 25 \cdot 1 + 26 = 25(z + 1)^2 - 25 + 26$.
Упростим выражение:
$25(z + 1)^2 + 1$.
Ответ: $25(z + 1)^2 + 1$.

4) Преобразуем выражение $-z^2 + 10z - 26$ методом выделения полного квадрата.
Вынесем коэффициент -1 за скобки:
$-(z^2 - 10z) - 26$.
В скобках дополним до полного квадрата. Коэффициент при $z$ равен -10. Его половина равна -5, а квадрат половины равен $(-5)^2 = 25$. Добавим и вычтем 25:
$-(z^2 - 10z + 25 - 25) - 26$.
Сгруппируем слагаемые в полный квадрат:
-((z^2 - 10z + 25) - 25) - 26 = -((z - 5)^2 - 25) - 26$.
Раскроем скобки (обратите внимание на смену знака):
$-(z - 5)^2 + 25 - 26$.
Упростим выражение:
$-(z - 5)^2 - 1$.
Ответ: $-(z - 5)^2 - 1$.

651. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень:

1) $z_1 = \frac{-3-2i}{2-i}$;

2) $z_1 = \frac{4-i}{-1+i}$.

Для составления квадратного уравнения с действительными коэффициентами, имеющего заданный комплексный корень, воспользуемся свойством, что если комплексное число $z_1 = a + bi$ является корнем такого уравнения, то и сопряженное ему число $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$ также является его корнем.Искомое квадратное уравнение можно найти по формуле, основанной на теореме Виета: $x^2 - (z_1 + z_2)x + z_1 z_2 = 0$. Сумма $z_1 + z_2 = 2a$ и произведение $z_1 z_2 = a^2 + b^2$ являются действительными числами, что гарантирует действительность коэффициентов уравнения.

1) Дан корень $z_1 = \frac{-3 - 2i}{2 - i}$.

Сначала приведем корень $z_1$ к стандартной алгебраической форме $a+bi$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2+i$.

$z_1 = \frac{-3 - 2i}{2 - i} = \frac{(-3 - 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-6 - 3i - 4i - 2i^2}{2^2 - (i)^2} = \frac{-6 - 7i - 2(-1)}{4 - (-1)} = \frac{-6 - 7i + 2}{5} = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i$.

Так как коэффициенты искомого уравнения действительны, второй корень $z_2$ должен быть комплексно-сопряженным к $z_1$:$z_2 = \overline{z_1} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i$.

Теперь найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $z_1 + z_2 = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) + \left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right) = -\frac{8}{5}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i\right) \cdot \left(-\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\right) = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5}$.

Подставляем найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$x^2 - \left(-\frac{8}{5}\right)x + \frac{13}{5} = 0$

$x^2 + \frac{8}{5}x + \frac{13}{5} = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим все его члены на 5:

$5x^2 + 8x + 13 = 0$

Ответ: $5x^2 + 8x + 13 = 0$.

2) Дан корень $z_1 = \frac{4 - i}{-1 + i}$.

Приведем корень $z_1$ к алгебраической форме, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $-1-i$.

$z_1 = \frac{4 - i}{-1 + i} = \frac{(4 - i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-4 - 4i + i + i^2}{(-1)^2 - (i)^2} = \frac{-4 - 3i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-5 - 3i}{2} = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i$.

Второй корень $z_2$ будет сопряженным к $z_1$:

$z_2 = \overline{z_1} = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма корней: $z_1 + z_2 = \left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right) + \left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right) = -\frac{10}{2} = -5$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \left(-\frac{5}{2} - \frac{3}{2}i\right) \cdot \left(-\frac{5}{2} + \frac{3}{2}i\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$.

Составим квадратное уравнение:

$x^2 - (-5)x + \frac{17}{2} = 0$

$x^2 + 5x + \frac{17}{2} = 0$

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы получить целые коэффициенты:

$2x^2 + 10x + 17 = 0$

Ответ: $2x^2 + 10x + 17 = 0$.

652. Решить уравнение:

1) $z^2 = -5 + 12i;$

2) $z^2 = -3 - 4i;$

3) $z^6 = 1;$

4) $z^6 = -1;$

5) $z^6 - 7z^3 - 8 = 0.$

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Тогда $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части уравнения $x^2 - y^2 + 2xyi = -5 + 12i$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ 2xy = 12 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = \frac{12}{2x} = \frac{6}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 - \left(\frac{6}{x}\right)^2 = -5$

$x^2 - \frac{36}{x^2} = -5$

Умножим обе части на $x^2$ (поскольку $x \ne 0$) и перенесем все в левую часть:

$x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):

$u^2 + 5u - 36 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$u_1 = \frac{-5 + 13}{2} = 4$

$u_2 = \frac{-5 - 13}{2} = -9$

Поскольку $u = x^2 \ge 0$, нам подходит только $u_1 = 4$.

Тогда $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из соотношения $y = 6/x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6/2 = 3$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 6/(-2) = -3$.

Таким образом, мы получили два решения для $z$:

$z_1 = 2 + 3i$ и $z_2 = -2 - 3i$.

Ответ: $z = 2 + 3i, z = -2 - 3i$.

Пусть $z = x + iy$. Тогда $z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$. Приравнивая это выражение к $-3 - 4i$, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -3 \\ 2xy = -4 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -2/x$. Подставим в первое:

$x^2 - \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = -3$

$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$

$x^4 + 3x^2 - 4 = 0$

Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):

$u^2 + 3u - 4 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Корни: $u_1 = 1$ и $u_2 = -4$.

Так как $u = x^2 \ge 0$, подходит только $u_1 = 1$.

$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y = -2/x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -2/1 = -2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -2/(-1) = 2$.

Получаем два решения:

$z_1 = 1 - 2i$ и $z_2 = -1 + 2i$.

Ответ: $z = 1 - 2i, z = -1 + 2i$.

Это уравнение для нахождения корней шестой степени из единицы. Для решения используем тригонометрическую форму комплексного числа. Число $1$ в тригонометрической форме имеет вид $1 = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. По формуле Муавра $z^6 = r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi))$.

Приравниваем $z^6$ и $1$:

$r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi)) = \cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k)$

Отсюда следует, что $r^6 = 1$, значит $r=1$ (так как $r \ge 0$).

А также $6\varphi = 2\pi k$, откуда $\varphi_k = \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi k}{3}$.

Чтобы найти все 6 различных корней, подставляем значения $k$ от 0 до 5:

При $k=0$: $z_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$.

При $k=1$: $z_1 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=2$: $z_2 = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=3$: $z_3 = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1$.

При $k=4$: $z_4 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=5$: $z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $z \in \{1, -1, \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.

Решаем уравнение методом извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме. Число $-1$ в тригонометрической форме: $-1 = \cos(\pi + 2\pi k) + i \sin(\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. Тогда $z^6 = r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi))$.

$r^6(\cos(6\varphi) + i \sin(6\varphi)) = \cos(\pi + 2\pi k) + i \sin(\pi + 2\pi k)$

Отсюда $r^6 = 1 \implies r=1$.

$6\varphi = \pi + 2\pi k \implies \varphi_k = \frac{\pi + 2\pi k}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Находим 6 различных корней для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$:

При $k=0$: $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$, $z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

При $k=1$: $\varphi_1 = \frac{\pi}{2}$, $z_1 = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = i$.

При $k=2$: $\varphi_2 = \frac{5\pi}{6}$, $z_2 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

При $k=3$: $\varphi_3 = \frac{7\pi}{6}$, $z_3 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

При $k=4$: $\varphi_4 = \frac{3\pi}{2}$, $z_4 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = -i$.

При $k=5$: $\varphi_5 = \frac{11\pi}{6}$, $z_5 = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i \sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.

Ответ: $z \in \{i, -i, \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \pm i\frac{1}{2}\}$.

Это уравнение является квадратным относительно $z^3$. Сделаем замену $w = z^3$.

$w^2 - 7w - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

$w_1 = \frac{7 + 9}{2} = 8$

$w_2 = \frac{7 - 9}{2} = -1$

Теперь нужно решить два уравнения: $z^3 = 8$ и $z^3 = -1$.

Случай 1: $z^3 = 8$

Находим кубические корни из 8. В тригонометрической форме $8 = 8(\cos(2\pi k) + i \sin(2\pi k))$.

Пусть $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$. Тогда $z^3 = r^3(\cos(3\varphi) + i\sin(3\varphi))$.

$r^3=8 \implies r=2$.

$3\varphi = 2\pi k \implies \varphi = \frac{2\pi k}{3}$ для $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_0 = 2(\cos(0) + i\sin(0)) = 2$.

При $k=1: z_1 = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$.

При $k=2: z_2 = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$.

Случай 2: $z^3 = -1$

Находим кубические корни из -1. В тригонометрической форме $-1 = \cos(\pi + 2\pi k) + i \sin(\pi + 2\pi k)$.

$r^3=1 \implies r=1$.

$3\varphi = \pi + 2\pi k \implies \varphi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$ для $k=0, 1, 2$.

При $k=0: z_3 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

При $k=1: z_4 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

При $k=2: z_5 = \cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объединяя все найденные корни, получаем шесть решений исходного уравнения.

Ответ: $z \in \{2, -1, -1 \pm i\sqrt{3}, \frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.