Номер 650, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 650, страница 248.

Условие.

650. 1) $4z^2 + 4z + 5$;

2) $16z^2 - 32z + 17$;

3) $25z^2 + 50z + 26$;

4) $-z^2 + 10z - 26$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы преобразовать выражение $4z^2 + 4z + 5$, применим метод выделения полного квадрата.
Сначала вынесем коэффициент 4 за скобки у слагаемых, содержащих переменную $z$:
$4z^2 + 4z + 5 = 4(z^2 + z) + 5$.
Далее, в скобках, дополним выражение до полного квадрата. Для этого используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. У нас есть $z^2 + z$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $z$. Коэффициент при $z$ равен 1. Его половина равна $\frac{1}{2}$, а квадрат половины равен $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$4(z^2 + z + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5$.
Теперь сгруппируем первые три слагаемых в скобках, которые образуют полный квадрат:
$4((z^2 + z + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4}) + 5 = 4((z + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 5$.
Раскроем внешние скобки, умножив 4 на каждый член внутри:
$4(z + \frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 = 4(z + \frac{1}{2})^2 - 1 + 5$.
Приведем подобные слагаемые:
$4(z + \frac{1}{2})^2 + 4$.
Ответ: $4(z + \frac{1}{2})^2 + 4$.

2) Преобразуем выражение $16z^2 - 32z + 17$ методом выделения полного квадрата.
Вынесем коэффициент 16 за скобки:
$16(z^2 - 2z) + 17$.
В скобках дополним выражение до полного квадрата, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Коэффициент при $z$ равен -2. Его половина равна -1, а квадрат половины равен $(-1)^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 в скобках:
$16(z^2 - 2z + 1 - 1) + 17$.
Сгруппируем слагаемые в полный квадрат:
$16((z^2 - 2z + 1) - 1) + 17 = 16((z - 1)^2 - 1) + 17$.
Раскроем скобки:
$16(z - 1)^2 - 16 \cdot 1 + 17 = 16(z - 1)^2 - 16 + 17$.
Упростим выражение:
$16(z - 1)^2 + 1$.
Ответ: $16(z - 1)^2 + 1$.

3) Преобразуем выражение $25z^2 + 50z + 26$ методом выделения полного квадрата.
Вынесем коэффициент 25 за скобки:
$25(z^2 + 2z) + 26$.
В скобках дополним до полного квадрата. Коэффициент при $z$ равен 2. Его половина равна 1, а квадрат половины равен $1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1:
$25(z^2 + 2z + 1 - 1) + 26$.
Сгруппируем слагаемые в полный квадрат:
$25((z^2 + 2z + 1) - 1) + 26 = 25((z + 1)^2 - 1) + 26$.
Раскроем скобки:
$25(z + 1)^2 - 25 \cdot 1 + 26 = 25(z + 1)^2 - 25 + 26$.
Упростим выражение:
$25(z + 1)^2 + 1$.
Ответ: $25(z + 1)^2 + 1$.

4) Преобразуем выражение $-z^2 + 10z - 26$ методом выделения полного квадрата.
Вынесем коэффициент -1 за скобки:
$-(z^2 - 10z) - 26$.
В скобках дополним до полного квадрата. Коэффициент при $z$ равен -10. Его половина равна -5, а квадрат половины равен $(-5)^2 = 25$. Добавим и вычтем 25:
$-(z^2 - 10z + 25 - 25) - 26$.
Сгруппируем слагаемые в полный квадрат:
-((z^2 - 10z + 25) - 25) - 26 = -((z - 5)^2 - 25) - 26$.
Раскроем скобки (обратите внимание на смену знака):
$-(z - 5)^2 + 25 - 26$.
Упростим выражение:
$-(z - 5)^2 - 1$.
Ответ: $-(z - 5)^2 - 1$.