Номер 643, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Глава 7. Комплексные числа - номер 643, страница 247.
№643 (с. 247)
Условие. №643 (с. 247)
скриншот условия

643. Решить уравнение:
1) $z^2 = -16;$
2) $z^2 = -7;$
3) $z^2 + 0.36 = 0;$
4) $25z^2 + 9 = 0;$
5) $z^4 - 16 = 0;$
6) $z^4 - 81 = 0.$
Решение 1. №643 (с. 247)






Решение 2. №643 (с. 247)

Решение 3. №643 (с. 247)
1) $z^2 = -16$
Чтобы решить это уравнение в множестве комплексных чисел, представим $-16$ как произведение $16$ и $-1$. Зная, что мнимая единица $i$ определяется как $i^2 = -1$, мы можем записать:
$z^2 = 16 \cdot (-1) = 16i^2$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$z = \pm\sqrt{16i^2} = \pm\sqrt{16}\sqrt{i^2} = \pm 4i$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $z_1 = 4i, z_2 = -4i$.
2) $z^2 = -7$
Аналогично предыдущему пункту, используем мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$.
$z^2 = 7 \cdot (-1) = 7i^2$
Извлекаем квадратный корень:
$z = \pm\sqrt{7i^2} = \pm\sqrt{7}\sqrt{i^2} = \pm i\sqrt{7}$
Уравнение имеет два комплексных корня.
Ответ: $z_1 = i\sqrt{7}, z_2 = -i\sqrt{7}$.
3) $z^2 + 0,36 = 0$
Сначала выразим $z^2$:
$z^2 = -0,36$
Представим правую часть через мнимую единицу $i$:
$z^2 = 0,36 \cdot (-1) = 0,36i^2$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$z = \pm\sqrt{0,36i^2} = \pm\sqrt{0,36}\sqrt{i^2} = \pm 0,6i$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $z_1 = 0,6i, z_2 = -0,6i$.
4) $25z^2 + 9 = 0$
Перенесем 9 в правую часть и разделим на 25, чтобы выразить $z^2$:
$25z^2 = -9$
$z^2 = -\frac{9}{25}$
Используем мнимую единицу $i^2 = -1$:
$z^2 = \frac{9}{25}i^2$
Извлекаем квадратный корень:
$z = \pm\sqrt{\frac{9}{25}i^2} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}\sqrt{i^2} = \pm \frac{3}{5}i$
Уравнение имеет два комплексных корня.
Ответ: $z_1 = \frac{3}{5}i, z_2 = -\frac{3}{5}i$.
5) $z^4 - 16 = 0$
Это биквадратное уравнение. Мы можем разложить левую часть как разность квадратов:
$z^4 - 16 = (z^2)^2 - 4^2 = (z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
Случай 1: $z^2 - 4 = 0$
$z^2 = 4$
$z = \pm\sqrt{4} = \pm 2$
Случай 2: $z^2 + 4 = 0$
$z^2 = -4 = 4i^2$
$z = \pm\sqrt{4i^2} = \pm 2i$
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z_1 = 2, z_2 = -2, z_3 = 2i, z_4 = -2i$.
6) $z^4 - 81 = 0$
Это также биквадратное уравнение. Разложим левую часть по формуле разности квадратов:
$z^4 - 81 = (z^2)^2 - 9^2 = (z^2 - 9)(z^2 + 9) = 0$
Рассмотрим два случая, когда множители равны нулю:
Случай 1: $z^2 - 9 = 0$
$z^2 = 9$
$z = \pm\sqrt{9} = \pm 3$
Случай 2: $z^2 + 9 = 0$
$z^2 = -9 = 9i^2$
$z = \pm\sqrt{9i^2} = \pm 3i$
Уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $z_1 = 3, z_2 = -3, z_3 = 3i, z_4 = -3i$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 643 расположенного на странице 247 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №643 (с. 247), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.