Номер 643, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 643, страница 247.

Условие.

643. Решить уравнение:

1) $z^2 = -16;$

2) $z^2 = -7;$

3) $z^2 + 0.36 = 0;$

4) $25z^2 + 9 = 0;$

5) $z^4 - 16 = 0;$

6) $z^4 - 81 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 = -16$

Чтобы решить это уравнение в множестве комплексных чисел, представим $-16$ как произведение $16$ и $-1$. Зная, что мнимая единица $i$ определяется как $i^2 = -1$, мы можем записать:

$z^2 = 16 \cdot (-1) = 16i^2$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$z = \pm\sqrt{16i^2} = \pm\sqrt{16}\sqrt{i^2} = \pm 4i$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $z_1 = 4i, z_2 = -4i$.

2) $z^2 = -7$

Аналогично предыдущему пункту, используем мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$.

$z^2 = 7 \cdot (-1) = 7i^2$

Извлекаем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{7i^2} = \pm\sqrt{7}\sqrt{i^2} = \pm i\sqrt{7}$

Уравнение имеет два комплексных корня.

Ответ: $z_1 = i\sqrt{7}, z_2 = -i\sqrt{7}$.

3) $z^2 + 0,36 = 0$

Сначала выразим $z^2$:

$z^2 = -0,36$

Представим правую часть через мнимую единицу $i$:

$z^2 = 0,36 \cdot (-1) = 0,36i^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$z = \pm\sqrt{0,36i^2} = \pm\sqrt{0,36}\sqrt{i^2} = \pm 0,6i$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $z_1 = 0,6i, z_2 = -0,6i$.

4) $25z^2 + 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть и разделим на 25, чтобы выразить $z^2$:

$25z^2 = -9$

$z^2 = -\frac{9}{25}$

Используем мнимую единицу $i^2 = -1$:

$z^2 = \frac{9}{25}i^2$

Извлекаем квадратный корень:

$z = \pm\sqrt{\frac{9}{25}i^2} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}\sqrt{i^2} = \pm \frac{3}{5}i$

Уравнение имеет два комплексных корня.

Ответ: $z_1 = \frac{3}{5}i, z_2 = -\frac{3}{5}i$.

5) $z^4 - 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Мы можем разложить левую часть как разность квадратов:

$z^4 - 16 = (z^2)^2 - 4^2 = (z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $z^2 - 4 = 0$

$z^2 = 4$

$z = \pm\sqrt{4} = \pm 2$

Случай 2: $z^2 + 4 = 0$

$z^2 = -4 = 4i^2$

$z = \pm\sqrt{4i^2} = \pm 2i$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 2, z_2 = -2, z_3 = 2i, z_4 = -2i$.

6) $z^4 - 81 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$z^4 - 81 = (z^2)^2 - 9^2 = (z^2 - 9)(z^2 + 9) = 0$

Рассмотрим два случая, когда множители равны нулю:

Случай 1: $z^2 - 9 = 0$

$z^2 = 9$

$z = \pm\sqrt{9} = \pm 3$

Случай 2: $z^2 + 9 = 0$

$z^2 = -9 = 9i^2$

$z = \pm\sqrt{9i^2} = \pm 3i$

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 3, z_2 = -3, z_3 = 3i, z_4 = -3i$.