Номер 640, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Глава 7. Комплексные числа - номер 640, страница 244.

Условие.

640. Доказать равенство (n — натуральное число):

$\left(\frac{1+i\operatorname{tg} \alpha}{1-i\operatorname{tg} \alpha}\right)^n = \frac{1+i\operatorname{tg} \alpha}{1-i\operatorname{tg} \alpha}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую и правую части поочередно и покажем, что они равны одному и тому же выражению. Мы будем исходить из того, что все выражения определены, то есть $ \cos\alpha \neq 0 $ и $ \cos(n\alpha) \neq 0 $.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Рассмотрим выражение в скобках, используя определение тангенса $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:$$ \frac{1+i\operatorname{tg}\alpha}{1-i\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1+i\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-i\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} $$Умножим числитель и знаменатель дроби на $ \cos\alpha $:$$ \frac{\cos\alpha \left(1+i\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)}{\cos\alpha \left(1-i\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)} = \frac{\cos\alpha + i\sin\alpha}{\cos\alpha - i\sin\alpha} $$

Теперь воспользуемся формулой Эйлера, которая связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями: $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $.Числитель $ \cos\alpha + i\sin\alpha $ равен $ e^{i\alpha} $.Знаменатель $ \cos\alpha - i\sin\alpha $, учитывая четность косинуса и нечетность синуса, можно представить как $ \cos(-\alpha) + i\sin(-\alpha) $, что равно $ e^{-i\alpha} $.Таким образом, дробь можно переписать в виде:$$ \frac{e^{i\alpha}}{e^{-i\alpha}} = e^{i\alpha - (-i\alpha)} = e^{i2\alpha} $$

Теперь возведем полученное выражение в степень $ n $, как указано в левой части исходного равенства:$$ \left(\frac{1+i\operatorname{tg}\alpha}{1-i\operatorname{tg}\alpha}\right)^n = \left(e^{i2\alpha}\right)^n = e^{i2n\alpha} $$

Далее преобразуем правую часть исходного равенства. Она имеет полностью аналогичную структуру:$$ \frac{1+i\operatorname{tg}(n\alpha)}{1-i\operatorname{tg}(n\alpha)} $$Проведем те же преобразования, что и для левой части, но с заменой $ \alpha $ на $ n\alpha $:$$ \frac{1+i\operatorname{tg}(n\alpha)}{1-i\operatorname{tg}(n\alpha)} = \frac{1+i\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}}{1-i\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}} = \frac{\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)-i\sin(n\alpha)} $$Используя формулу Эйлера, получаем:$$ \frac{e^{in\alpha}}{e^{-in\alpha}} = e^{in\alpha - (-in\alpha)} = e^{i2n\alpha} $$

Мы показали, что и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $ e^{i2n\alpha} $. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.