Номер 634, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Глава 7. Комплексные числа - номер 634, страница 243.

Условие.

634. Возвести в степень комплексное число:

1) $2(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})^3$;

2) $(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})^6$;

3) $(\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}))^4$;

4) $(\cos(-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6}))^9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для возведения комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, в натуральную степень используется формула Муавра:
$ [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) $
где $r$ - модуль комплексного числа, $\varphi$ - его аргумент, а $n$ - показатель степени.

1) Дано выражение $(2(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}))^3$.
Здесь $r=2$, $\varphi=\frac{4\pi}{3}$, $n=3$.
Применяем формулу Муавра:
$ 2^3(\cos(3 \cdot \frac{4\pi}{3}) + i\sin(3 \cdot \frac{4\pi}{3})) = 8(\cos(4\pi) + i\sin(4\pi)) $
Вычисляем значения тригонометрических функций. Угол $4\pi$ соответствует полному обороту в $2 \cdot 2\pi$, поэтому он эквивалентен углу $0$.
$ \cos(4\pi) = \cos(0) = 1 $
$ \sin(4\pi) = \sin(0) = 0 $
Подставляем значения в выражение:
$ 8(1 + i \cdot 0) = 8 $
Ответ: $8$.

2) Дано выражение $(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})^6$.
Здесь $r=1$, $\varphi=\frac{\pi}{6}$, $n=6$.
Применяем формулу Муавра:
$ 1^6(\cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6})) = 1(\cos\pi + i\sin\pi) $
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$ \cos\pi = -1 $
$ \sin\pi = 0 $
Подставляем значения в выражение:
$ -1 + i \cdot 0 = -1 $
Ответ: $-1$.

3) Дано выражение $(\frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}))^4$.
Здесь $r=\frac{1}{2}$, $\varphi=\frac{\pi}{8}$, $n=4$.
Применяем формулу Муавра:
$ (\frac{1}{2})^4(\cos(4 \cdot \frac{\pi}{8}) + i\sin(4 \cdot \frac{\pi}{8})) = \frac{1}{16}(\cos\frac{4\pi}{8} + i\sin\frac{4\pi}{8}) = \frac{1}{16}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) $
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $
$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $
Подставляем значения в выражение:
$ \frac{1}{16}(0 + i \cdot 1) = \frac{1}{16}i $
Ответ: $\frac{1}{16}i$.

4) Дано выражение $(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))^9$.
Здесь $r=1$, $\varphi=-\frac{\pi}{6}$, $n=9$.
Применяем формулу Муавра:
$ 1^9(\cos(9 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(9 \cdot (-\frac{\pi}{6}))) = \cos(-\frac{9\pi}{6}) + i\sin(-\frac{9\pi}{6}) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3\pi}{2}) $
Упростим аргумент. Угол $-\frac{3\pi}{2}$ совпадает с углом $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{-3\pi+4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, выражение можно переписать как:
$ \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) $
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $
$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $
Подставляем значения:
$ 0 + i \cdot 1 = i $
Ответ: $i$.