Номер 638, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Глава 7. Комплексные числа - номер 638, страница 244.

Условие.

638. Представить в тригонометрической форме число:

1) $ \sin \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} $;

2) $ \sin \alpha + i(1 - \cos \alpha), 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

3) $ (\text{tg } 1 - i)^4 $;

4) $ \frac{(1+i)^{2n+1}}{(1-i)^{2n-1}}, n \in N $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $ \sin\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} $

Сначала найдем алгебраическую форму комплексного числа $z$.

Поскольку $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, то $ z = \frac{1}{2} + i\frac{1}{2} $.

Тригонометрическая форма комплексного числа $ z = x + iy $ имеет вид $ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) $, где $ r = |z| = \sqrt{x^2+y^2} $ — модуль числа, а $ \varphi = \arg(z) $ — его аргумент.

Найдем модуль числа $ z $:

$ r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем аргумент $ \varphi $. Так как $ x = \frac{1}{2} > 0 $ и $ y = \frac{1}{2} > 0 $, угол $ \varphi $ находится в первой четверти.

$ \cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Отсюда следует, что $ \varphi = \frac{\pi}{4} $.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) $

2) $ \sin\alpha + i(1 - \cos\alpha) $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $

Пусть $ z = \sin\alpha + i(1 - \cos\alpha) $. Воспользуемся формулами двойного угла (или половинного угла):

$ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

$ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $

Подставим эти выражения в $ z $:

$ z = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + i(2\sin^2\frac{\alpha}{2}) $

Вынесем общий множитель $ 2\sin\frac{\alpha}{2} $ за скобки:

$ z = 2\sin\frac{\alpha}{2} \left(\cos\frac{\alpha}{2} + i\sin\frac{\alpha}{2}\right) $

Это выражение имеет вид $ r(\cos\varphi + i\sin\varphi) $, где $ r = 2\sin\frac{\alpha}{2} $ и $ \varphi = \frac{\alpha}{2} $.

Проверим, что $ r $ является действительным положительным числом. По условию $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, следовательно $ 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} $. В этом интервале $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, поэтому $ r = 2\sin\frac{\alpha}{2} > 0 $.

Таким образом, мы получили тригонометрическую форму числа.

Ответ: $ 2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + i\sin\frac{\alpha}{2}\right) $

3) $ (\tan 1 - i)^4 $

Сначала представим в тригонометрической форме основание степени, число $ w = \tan 1 - i $. Угол 1 здесь дан в радианах ($ 1 \text{ рад} \approx 57.3^\circ $).

Найдем модуль $ |w| $:

$ r_w = \sqrt{(\tan 1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\tan^2 1 + 1} = \sqrt{\sec^2 1} = |\sec 1| $.

Поскольку $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} $, то $ \cos 1 > 0 $, и $ \sec 1 = \frac{1}{\cos 1} > 0 $. Значит, $ r_w = \frac{1}{\cos 1} $.

Найдем аргумент $ \varphi_w $:

$ \cos\varphi_w = \frac{\tan 1}{1/\cos 1} = \frac{\sin 1 / \cos 1}{1/\cos 1} = \sin 1 $

$ \sin\varphi_w = \frac{-1}{1/\cos 1} = -\cos 1 $

Используя формулы приведения, $ \sin 1 = \cos(\frac{\pi}{2} - 1) $ и $ -\cos 1 = -\sin(\frac{\pi}{2} - 1) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - 1)) = \sin(1 - \frac{\pi}{2}) $.

Итак, $ \cos\varphi_w = \cos(1 - \frac{\pi}{2}) $ и $ \sin\varphi_w = \sin(1 - \frac{\pi}{2}) $. Следовательно, $ \varphi_w = 1 - \frac{\pi}{2} $.

Тригонометрическая форма для $ w $: $ w = \frac{1}{\cos 1}\left(\cos(1 - \frac{\pi}{2}) + i\sin(1 - \frac{\pi}{2})\right) $.

Теперь возведем $ w $ в 4-ю степень, используя формулу Муавра $ [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) $:

$ z = w^4 = \left(\frac{1}{\cos 1}\right)^4 \left(\cos(4(1 - \frac{\pi}{2})) + i\sin(4(1 - \frac{\pi}{2}))\right) $

$ z = \frac{1}{\cos^4 1} (\cos(4 - 2\pi) + i\sin(4 - 2\pi)) $

Учитывая периодичность синуса и косинуса (период $ 2\pi $), получаем:

$ z = \frac{1}{\cos^4 1} (\cos 4 + i\sin 4) $

Ответ: $ \frac{1}{\cos^4 1}(\cos 4 + i\sin 4) $

4) $ \frac{(1+i)^{2n+1}}{(1-i)^{2n-1}}, n \in \mathbb{N} $

Представим числа $ 1+i $ и $ 1-i $ в тригонометрической форме.

$ 1+i $: модуль $ r_1 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $. Аргумент $ \varphi_1 = \frac{\pi}{4} $.

$ 1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) $.

$ 1-i $: модуль $ r_2 = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} $. Аргумент $ \varphi_2 = -\frac{\pi}{4} $.

$ 1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) $.

Используем формулу Муавра для числителя и знаменателя.

Числитель: $ (1+i)^{2n+1} = (\sqrt{2})^{2n+1}\left(\cos\frac{(2n+1)\pi}{4} + i\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}\right) $.

Знаменатель: $ (1-i)^{2n-1} = (\sqrt{2})^{2n-1}\left(\cos\frac{-(2n-1)\pi}{4} + i\sin\frac{-(2n-1)\pi}{4}\right) $.

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Модуль результирующего числа $ z $:

$ r = \frac{(\sqrt{2})^{2n+1}}{(\sqrt{2})^{2n-1}} = (\sqrt{2})^{(2n+1)-(2n-1)} = (\sqrt{2})^2 = 2 $.

Аргумент результирующего числа $ z $:

$ \varphi = \frac{(2n+1)\pi}{4} - \left(\frac{-(2n-1)\pi}{4}\right) = \frac{(2n+1)\pi + (2n-1)\pi}{4} = \frac{4n\pi}{4} = n\pi $.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:

Ответ: $ 2(\cos(n\pi) + i\sin(n\pi)) $