Номер 641, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра - номер 641, страница 244.

Условие.

$(1 - i \text{ tg } \alpha)$ $1 - i \text{ tg } \alpha$

641. Найти сумму:

1) $ \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \dots + \sin(2n - 1)x, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}; $

2) $ \cos x + \cos 3x + \cos 5x + \dots + \cos(2n - 1)x, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Обозначим искомую сумму через $S_n$:

$S_n = \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \dots + \sin(2n-1)x$.

Для нахождения суммы воспользуемся методом умножения на $2\sin x$. Условие $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ гарантирует, что $\sin x \neq 0$, поэтому такое умножение и последующее деление на $2\sin x$ являются корректными операциями.

Умножим обе части равенства на $2\sin x$:

$2\sin x \cdot S_n = 2\sin x \sin x + 2\sin x \sin 3x + 2\sin x \sin 5x + \dots + 2\sin x \sin(2n-1)x$.

Применим формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$ к каждому слагаемому в правой части:

• $2\sin x \sin x = \cos(x-x) - \cos(x+x) = \cos 0 - \cos 2x = 1 - \cos 2x$.
• $2\sin x \sin 3x = \cos(3x-x) - \cos(3x+x) = \cos 2x - \cos 4x$.
• $2\sin x \sin 5x = \cos(5x-x) - \cos(5x+x) = \cos 4x - \cos 6x$.
• ...
• $2\sin x \sin((2n-1)x) = \cos((2n-1)x-x) - \cos((2n-1)x+x) = \cos(2(n-1)x) - \cos(2nx)$.

Сложив все эти выражения, получим телескопическую сумму, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$2\sin x \cdot S_n = (1 - \cos 2x) + (\cos 2x - \cos 4x) + (\cos 4x - \cos 6x) + \dots + (\cos(2(n-1)x) - \cos(2nx))$.

$2\sin x \cdot S_n = 1 - \cos(2nx)$.

Используя формулу косинуса двойного угла в виде $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$, получим:

$2\sin x \cdot S_n = 2\sin^2(nx)$.

Разделим обе части на $2\sin x$:

$S_n = \frac{2\sin^2(nx)}{2\sin x} = \frac{\sin^2(nx)}{\sin x}$.

Ответ: $\frac{\sin^2(nx)}{\sin x}$.

2) Обозначим искомую сумму через $C_n$:

$C_n = \cos x + \cos 3x + \cos 5x + \dots + \cos(2n-1)x$.

Как и в предыдущем пункте, умножим обе части на $2\sin x$ (где $\sin x \neq 0$ согласно условию).

$2\sin x \cdot C_n = 2\sin x \cos x + 2\sin x \cos 3x + 2\sin x \cos 5x + \dots + 2\sin x \cos(2n-1)x$.

Применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$ к каждому слагаемому:

• $2\sin x \cos x = \sin(x+x) + \sin(x-x) = \sin 2x + \sin 0 = \sin 2x$.
• $2\sin x \cos 3x = \sin(x+3x) + \sin(x-3x) = \sin 4x + \sin(-2x) = \sin 4x - \sin 2x$.
• $2\sin x \cos 5x = \sin(x+5x) + \sin(x-5x) = \sin 6x + \sin(-4x) = \sin 6x - \sin 4x$.
• ...
• $2\sin x \cos((2n-1)x) = \sin(x+(2n-1)x) + \sin(x-(2n-1)x) = \sin(2nx) + \sin(-(2n-2)x) = \sin(2nx) - \sin(2(n-1)x)$.

Сложив все эти выражения, снова получим телескопическую сумму:

$2\sin x \cdot C_n = (\sin 2x) + (\sin 4x - \sin 2x) + (\sin 6x - \sin 4x) + \dots + (\sin(2nx) - \sin(2(n-1)x))$.

После сокращения промежуточных членов остается только последний член:

$2\sin x \cdot C_n = \sin(2nx)$.

Разделим обе части на $2\sin x$:

$C_n = \frac{\sin(2nx)}{2\sin x}$.

Ответ: $\frac{\sin(2nx)}{2\sin x}$.