Номер 636, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Глава 7. Комплексные числа - номер 636, страница 243.

Условие.

636. Записать в тригонометрической форме результат действий:

1) $z = \frac{-1+i}{2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)}$;

2) $z = -3\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12}\right)^4$;

3) $z = \left(\frac{\sqrt{3}i+1}{i-1}\right)^6$;

4) $z = \left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z = \frac{-1+i}{2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})}$
Для того чтобы выполнить деление, представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме.
Числитель: $z_1 = -1+i$.
Найдем модуль и аргумент.
Модуль: $r_1 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Аргумент $\phi_1$: $\cos\phi_1 = \frac{-1}{\sqrt{2}}$, $\sin\phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Точка $(-1, 1)$ находится во второй четверти, следовательно, $\phi_1 = \frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, $z_1 = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.
Знаменатель уже представлен в тригонометрической форме: $z_2 = 2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.
Его модуль $r_2 = 2$, аргумент $\phi_2 = \frac{\pi}{4}$.
При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:
$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.
$r = \frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\phi = \phi_1 - \phi_2 = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
В результате получаем: $z = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.
Ответ: $z = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.

2) $z = -3(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})^4$
Разобьем выражение на части.
Первая часть: $z_1 = -3(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.
Представим число $-3$ в тригонометрической форме: $-3 = 3(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Тогда $z_1 = 3(\cos\pi + i\sin\pi)(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.
При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются:
$r_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
$\phi_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
Итак, $z_1 = 3(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$.
Вторая часть: $z_2 = (\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})^4$.
Используя свойства четности косинуса и нечетности синуса, преобразуем выражение в скобках:
$\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12} = \cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12})$.
Теперь применим формулу Муавра $(r(\cos\phi + i\sin\phi))^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$:
$z_2 = (\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))^4 = \cos(4 \cdot (-\frac{\pi}{12})) + i\sin(4 \cdot (-\frac{\pi}{12})) = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})$.
Теперь перемножим $z_1$ и $z_2$:
$z = z_1 \cdot z_2 = 3(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}) \cdot (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Модуль итогового числа: $r = 3 \cdot 1 = 3$.
Аргумент: $\phi = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi - 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
В результате получаем: $z = 3(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.
Ответ: $z = 3(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

3) $z = \left( \frac{\sqrt{3}i + 1}{i-1} \right)^6 = \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{-1 + i} \right)^6$
Сначала преобразуем в тригонометрическую форму основание степени.
Числитель: $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$.
$r_1 = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
$\cos\phi_1 = \frac{1}{2}$, $\sin\phi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\phi_1 = \frac{\pi}{3}$.
$z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.
Знаменатель: $z_2 = -1 + i$.
$r_2 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos\phi_2 = \frac{-1}{\sqrt{2}}$, $\sin\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\phi_2 = \frac{3\pi}{4}$.
$z_2 = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.
Разделим $z_1$ на $z_2$:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{\sqrt{2}}(\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4})) = \sqrt{2}(\cos(\frac{4\pi-9\pi}{12}) + i\sin(\frac{4\pi-9\pi}{12})) = \sqrt{2}(\cos(-\frac{5\pi}{12}) + i\sin(-\frac{5\pi}{12}))$.
Теперь возведем результат в 6-ю степень по формуле Муавра:
$z = (\sqrt{2})^6 (\cos(6 \cdot (-\frac{5\pi}{12})) + i\sin(6 \cdot (-\frac{5\pi}{12})))$.
$(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^3 = 8$.
$6 \cdot (-\frac{5\pi}{12}) = -\frac{5\pi}{2}$.
$z = 8(\cos(-\frac{5\pi}{2}) + i\sin(-\frac{5\pi}{2}))$.
Приведем аргумент к значению в интервале $[0, 2\pi)$, прибавив $4\pi$ (два полных оборота):
$\phi = -\frac{5\pi}{2} + 4\pi = -\frac{5\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Таким образом, $z = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$.
Ответ: $z = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$.

4) $z = \left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^{-2}$
Представим основание степени $w = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ в тригонометрической форме.
Модуль: $r = |\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{3}$.
Итак, $w = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$.
Теперь возведем $w$ в степень $-2$ по формуле Муавра:
$z = w^{-2} = (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})^{-2} = \cos(-2 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(-2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})$.
Приведем аргумент к положительному значению, прибавив $2\pi$:
$\phi = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$.
Таким образом, $z = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$.
Ответ: $z = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$.