Номер 635, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра - номер 635, страница 243.

Условие.

635. Выполнить действия и записать результат в алгебраической форме:

1) $\frac{i \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)}{\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}};$

2) $\frac{1}{\cos \frac{4\pi}{3} - i \sin \frac{4\pi}{3}};$

3) $\frac{\left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right) (1 + \sqrt{3}i)^7}{i};$

4) $\frac{\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right)}{1 - i};$

5) $\left( \frac{i^8 + \sqrt{3}i^5}{4} \right)^5;$

6) $\frac{(2i)^7}{(-\sqrt{2} + i\sqrt{2})^6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{i(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3})}{\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}}$

Для решения этой задачи удобно использовать показательную форму комплексного числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi) = re^{i\phi}$.

Представим каждое комплексное число в показательной форме.

Числитель: $i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

$\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = e^{i\frac{5\pi}{3}}$.

Таким образом, числитель равен $e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{5\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{3})} = e^{i(\frac{3\pi+10\pi}{6})} = e^{i\frac{13\pi}{6}}$.

Знаменатель: $\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{e^{i\frac{13\pi}{6}}}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = e^{i(\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6})} = e^{i\frac{12\pi}{6}} = e^{i2\pi}$.

Переведем результат обратно в алгебраическую форму:

$e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + i \cdot 0 = 1$.

Ответ: 1

2) $\frac{1}{\cos\frac{4\pi}{3} - i\sin\frac{4\pi}{3}}$

Используем формулу Эйлера и свойство четности косинуса и нечетности синуса: $\cos\phi - i\sin\phi = \cos(-\phi) + i\sin(-\phi) = e^{-i\phi}$.

Знаменатель: $\cos\frac{4\pi}{3} - i\sin\frac{4\pi}{3} = e^{-i\frac{4\pi}{3}}$.

Тогда все выражение равно:

$\frac{1}{e^{-i\frac{4\pi}{3}}} = e^{i\frac{4\pi}{3}}$.

Переведем в алгебраическую форму:

$e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$.

Вычислим значения синуса и косинуса:

$\cos\frac{4\pi}{3} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Результат: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) $(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3})(1 + i\sqrt{3})^7$

Представим оба множителя в показательной форме.

Первый множитель: $\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Второй множитель: $z = 1 + i\sqrt{3}$. Найдем его модуль и аргумент.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент: $\phi = \arg(z)$, $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Значит, $1 + i\sqrt{3} = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Возведем в степень 7 по формуле Муавра: $(2e^{i\frac{\pi}{3}})^7 = 2^7 e^{i\frac{7\pi}{3}} = 128e^{i\frac{7\pi}{3}}$.

Теперь перемножим оба множителя:

$e^{-i\frac{\pi}{3}} \cdot 128e^{i\frac{7\pi}{3}} = 128 e^{i(\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3})} = 128 e^{i\frac{6\pi}{3}} = 128 e^{i2\pi}$.

Переведем в алгебраическую форму: $128(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 128(1+0) = 128$.

Ответ: 128

4) $\frac{(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3})}{1-i}$

Рассмотрим числитель. Представим оба сомножителя в показательной форме.

Первый сомножитель: $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Второй сомножитель: $z_2 = \cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Их произведение: $z_1 \cdot z_2 = e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})} = e^{i0} = 1$.

Таким образом, выражение упрощается до $\frac{1}{1-i}$.

Чтобы записать результат в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю число $(1+i)$:

$\frac{1}{1-i} = \frac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1^2 - i^2} = \frac{1+i}{1 - (-1)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

5) $(\frac{i^8 + \sqrt{3}i^5}{4})^5$

Сначала упростим выражение в скобках. Вычислим степени мнимой единицы $i$:

$i^4 = 1$, поэтому $i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1$.

$i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

Подставим эти значения в выражение:

$(\frac{1 + \sqrt{3}i}{4})^5 = (\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4})^5$.

Для возведения в степень представим комплексное число $z = \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$ в показательной форме.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Аргумент: $\cos\phi = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}/4}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = \frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Возводим в пятую степень: $z^5 = (\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}})^5 = (\frac{1}{2})^5 e^{i\frac{5\pi}{3}} = \frac{1}{32}e^{i\frac{5\pi}{3}}$.

Переведем в алгебраическую форму: $\frac{1}{32}(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3})$.

$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

$\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Результат: $\frac{1}{32}(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{64} - i\frac{\sqrt{3}}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64} - i\frac{\sqrt{3}}{64}$

6) $\frac{(2i)^7}{(-\sqrt{2} + i\sqrt{2})^6}$

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $(2i)^7 = 2^7 \cdot i^7 = 128 \cdot i^{4+3} = 128 \cdot (i^4 \cdot i^3) = 128 \cdot (1 \cdot (-i)) = -128i$.

Знаменатель: $z = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Переведем в показательную форму.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент: $\cos\phi = \frac{-\sqrt{2}}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\phi = \frac{3\pi}{4}$.

Итак, $z = 2e^{i\frac{3\pi}{4}}$.

Возводим в шестую степень: $z^6 = (2e^{i\frac{3\pi}{4}})^6 = 2^6 e^{i\frac{3\pi}{4} \cdot 6} = 64e^{i\frac{18\pi}{4}} = 64e^{i\frac{9\pi}{2}}$.

Упростим аргумент: $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Период $2\pi$ можно отбросить, поэтому $e^{i\frac{9\pi}{2}} = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i$.

Знаменатель равен $64i$.

Теперь выполним деление:

$\frac{-128i}{64i} = -2$.

Ответ: -2