Номер 639, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра - номер 639, страница 244.

Условие.

639. Применяя формулу Муавра, доказать равенство:

1) $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $;

2) $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $;

3) $ \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha $;

4) $ \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данных равенств воспользуемся формулой Муавра: $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)$, где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$).

1) cos 2α = cos² α - sin² α;

Применим формулу Муавра для $n=2$. С одной стороны, мы имеем $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^2 = \cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha)$.
С другой стороны, раскроем левую часть как квадрат суммы: $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha + 2(\cos \alpha)(i \sin \alpha) + (i \sin \alpha)^2 = \cos^2 \alpha + 2i \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha$.
Сгруппировав действительные и мнимые части, получим: $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + i (2 \sin \alpha \cos \alpha)$.

Приравнивая два полученных выражения, имеем:
$\cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha) = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + i (2 \sin \alpha \cos \alpha)$.

Два комплексных числа равны, когда равны их действительные части. Следовательно:
$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ доказано.

2) sin 2α = 2sin α cos α;

Используя равенство из предыдущего пункта:
$\cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha) = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + i (2 \sin \alpha \cos \alpha)$.

Приравниваем мнимые части этого равенства:
$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ доказано.

3) cos 3α = 4cos³ α - 3cos α;

Применим формулу Муавра для $n=3$. С одной стороны: $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3 = \cos(3\alpha) + i \sin(3\alpha)$.
С другой стороны, раскроем левую часть по формуле куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:
$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3 = \cos^3 \alpha + 3\cos^2 \alpha (i \sin \alpha) + 3\cos \alpha (i \sin \alpha)^2 + (i \sin \alpha)^3$.
Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$, получаем:
$\cos^3 \alpha + 3i \cos^2 \alpha \sin \alpha - 3\cos \alpha \sin^2 \alpha - i \sin^3 \alpha$.

Сгруппировав действительные и мнимые части, имеем:
$(\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha \sin^2 \alpha) + i (3\cos^2 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha)$.

Приравнивая действительные части, получаем: $\cos(3\alpha) = \cos^3 \alpha - 3\cos \alpha \sin^2 \alpha$.
Для приведения к искомому виду используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:
$\cos(3\alpha) = \cos^3 \alpha - 3\cos \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \cos^3 \alpha - 3\cos \alpha + 3\cos^3 \alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$ доказано.

4) sin 3α = 3sin α - 4sin³ α.

Из вычислений в пункте 3) мы получили равенство для комплексных чисел. Теперь приравняем их мнимые части:
$\sin(3\alpha) = 3\cos^2 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha$.

Для приведения к искомому виду используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:
$\sin(3\alpha) = 3(1 - \sin^2 \alpha)\sin \alpha - \sin^3 \alpha = 3\sin \alpha - 3\sin^3 \alpha - \sin^3 \alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ доказано.