Номер 644, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Глава 7. Комплексные числа - номер 644, страница 247.

Условие.

644. Вычислить:

1) $\sqrt{-100}$;

2) $\sqrt{-0.25}$;

3) $\sqrt{-12}$;

4) $\sqrt{-27}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача заключается в вычислении квадратных корней из отрицательных чисел. Решение этой задачи зависит от того, в каком множестве чисел мы работаем.

В множестве действительных чисел ($R$), квадратный корень из отрицательного числа не определён. Это следует из того, что квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. То есть, не существует такого действительного числа $x$, для которого выполнялось бы равенство $x^2 = a$, если $a < 0$. Поэтому, в рамках действительных чисел, ни одно из данных выражений не имеет смысла.

В множестве комплексных чисел ($C$), вычисление корня из отрицательного числа возможно. Для этого вводится мнимая единица $i$, определяемая как $i = \sqrt{-1}$. С её помощью для любого положительного действительного числа $a$ можно записать:

$\sqrt{-a} = \sqrt{a \cdot (-1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-1} = i\sqrt{a}$

Ниже приведены решения для каждого пункта, предполагая работу в поле комплексных чисел.

1) $\sqrt{-100}$

Применяя приведённое выше правило для комплексных чисел, получаем:

$\sqrt{-100} = i\sqrt{100} = 10i$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $10i$.

2) $\sqrt{-0,25}$

Аналогично предыдущему пункту:

$\sqrt{-0,25} = i\sqrt{0,25} = 0,5i$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $0,5i$.

3) $\sqrt{-12}$

Выполняем вычисление и упрощаем корень:

$\sqrt{-12} = i\sqrt{12} = i\sqrt{4 \cdot 3} = 2i\sqrt{3}$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $2i\sqrt{3}$.

4) $\sqrt{-27}$

Выполняем вычисление и упрощаем корень:

$\sqrt{-27} = i\sqrt{27} = i\sqrt{9 \cdot 3} = 3i\sqrt{3}$

Ответ: в действительных числах выражение не имеет смысла; в комплексных числах ответ $3i\sqrt{3}$.