Номер 647, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным - номер 647, страница 247.

Условие.

647. Составить приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень, и проверить ответ, решив полученное уравнение:

1) $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i;$

2) $z_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i;$

3) $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{5}i;$

4) $z_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Основная идея решения: Если приведённое квадратное уравнение $z^2 + pz + q = 0$ имеет действительные коэффициенты $p$ и $q$, и один из его корней является комплексным числом $z_1 = a + bi$, то второй корень $z_2$ обязательно будет ему комплексно-сопряжённым, то есть $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$.

Коэффициенты $p$ и $q$ можно найти, используя теорему Виета:

• $z_1 + z_2 = -p$
• $z_1 \cdot z_2 = q$

Отсюда $p = -(z_1 + z_2) = -2a$ и $q = z_1 \cdot z_2 = a^2+b^2$.

1)

Дан корень $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i$.

Поскольку коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно-сопряжённым к $z_1$: $z_2 = \overline{z_1} = 2 - \frac{1}{2}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$ для уравнения $z^2+pz+q=0$ по теореме Виета:
$p = -(z_1 + z_2) = -((2 + \frac{1}{2}i) + (2 - \frac{1}{2}i)) = -(2 + 2) = -4$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (2 + \frac{1}{2}i)(2 - \frac{1}{2}i) = 2^2 - (\frac{1}{2}i)^2 = 4 - \frac{1}{4}i^2 = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Таким образом, искомое приведённое квадратное уравнение: $z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{17}{4} = 16 - 17 = -1$.
Корни уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm i}{2}$.
Получаем корни $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i$ и $z_2 = 2 - \frac{1}{2}i$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.

2)

Дан корень $z_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)) = -(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = -1$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i)(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2}i)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Искомое уравнение: $z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 2 = -1$.
Корни уравнения: $z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i}{2}$.
Получаем корни $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ и $z_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.

3)

Дан корень $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{5}i$.

Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = \sqrt{2} + \sqrt{5}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((\sqrt{2} - \sqrt{5}i) + (\sqrt{2} + \sqrt{5}i)) = -(\sqrt{2} + \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{2} - \sqrt{5}i)(\sqrt{2} + \sqrt{5}i) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 2 - 5i^2 = 2 + 5 = 7$.

Искомое уравнение: $z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.
Дискриминант: $D = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 8 - 28 = -20$.
Корни уравнения: $z = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{-20}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{2} \pm i\sqrt{20}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2i\sqrt{5}}{2} = \sqrt{2} \pm i\sqrt{5}$.
Получаем корни $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{5}$ и $z_2 = \sqrt{2} - i\sqrt{5}$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.

4)

Дан корень $z_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}i$.

Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = -\sqrt{6} - \sqrt{3}i$.

Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((-\sqrt{6} + \sqrt{3}i) + (-\sqrt{6} - \sqrt{3}i)) = -(-\sqrt{6} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (-\sqrt{6} + \sqrt{3}i)(-\sqrt{6} - \sqrt{3}i) = (-\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 6 - 3i^2 = 6 + 3 = 9$.

Искомое уравнение: $z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.

Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.
Дискриминант: $D = (2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 24 - 36 = -12$.
Корни уравнения: $z = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{6} \pm i\sqrt{12}}{2} = \frac{-2\sqrt{6} \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{6} \pm i\sqrt{3}$.
Получаем корни $z_1 = -\sqrt{6} + i\sqrt{3}$ и $z_2 = -\sqrt{6} - i\sqrt{3}$. Один из корней совпадает с заданным.

Ответ: $z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.