Номер 647, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным. Глава 7. Комплексные числа - номер 647, страница 247.
№647 (с. 247)
Условие. №647 (с. 247)
скриншот условия

647. Составить приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень, и проверить ответ, решив полученное уравнение:
1) $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i;$
2) $z_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i;$
3) $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{5}i;$
4) $z_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}i.$
Решение 1. №647 (с. 247)




Решение 2. №647 (с. 247)


Решение 3. №647 (с. 247)
Основная идея решения: Если приведённое квадратное уравнение $z^2 + pz + q = 0$ имеет действительные коэффициенты $p$ и $q$, и один из его корней является комплексным числом $z_1 = a + bi$, то второй корень $z_2$ обязательно будет ему комплексно-сопряжённым, то есть $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$.
Коэффициенты $p$ и $q$ можно найти, используя теорему Виета:
- $z_1 + z_2 = -p$
- $z_1 \cdot z_2 = q$
Отсюда $p = -(z_1 + z_2) = -2a$ и $q = z_1 \cdot z_2 = a^2+b^2$.
1)Дан корень $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i$.
Поскольку коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ является комплексно-сопряжённым к $z_1$: $z_2 = \overline{z_1} = 2 - \frac{1}{2}i$.
Найдём коэффициенты $p$ и $q$ для уравнения $z^2+pz+q=0$ по теореме Виета:
$p = -(z_1 + z_2) = -((2 + \frac{1}{2}i) + (2 - \frac{1}{2}i)) = -(2 + 2) = -4$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (2 + \frac{1}{2}i)(2 - \frac{1}{2}i) = 2^2 - (\frac{1}{2}i)^2 = 4 - \frac{1}{4}i^2 = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.
Таким образом, искомое приведённое квадратное уравнение: $z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.
Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{17}{4} = 16 - 17 = -1$.
Корни уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm i}{2}$.
Получаем корни $z_1 = 2 + \frac{1}{2}i$ и $z_2 = 2 - \frac{1}{2}i$. Один из корней совпадает с заданным.
Ответ: $z^2 - 4z + \frac{17}{4} = 0$.
2)Дан корень $z_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.
Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)) = -(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = -1$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i)(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2}i)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
Искомое уравнение: $z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.
Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 2 = -1$.
Корни уравнения: $z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i}{2}$.
Получаем корни $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ и $z_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$. Один из корней совпадает с заданным.
Ответ: $z^2 - z + \frac{1}{2} = 0$.
3)Дан корень $z_1 = \sqrt{2} - \sqrt{5}i$.
Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = \sqrt{2} + \sqrt{5}i$.
Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((\sqrt{2} - \sqrt{5}i) + (\sqrt{2} + \sqrt{5}i)) = -(\sqrt{2} + \sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{2} - \sqrt{5}i)(\sqrt{2} + \sqrt{5}i) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 2 - 5i^2 = 2 + 5 = 7$.
Искомое уравнение: $z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.
Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.
Дискриминант: $D = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 8 - 28 = -20$.
Корни уравнения: $z = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{-20}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{2} \pm i\sqrt{20}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2i\sqrt{5}}{2} = \sqrt{2} \pm i\sqrt{5}$.
Получаем корни $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{5}$ и $z_2 = \sqrt{2} - i\sqrt{5}$. Один из корней совпадает с заданным.
Ответ: $z^2 - 2\sqrt{2}z + 7 = 0$.
4)Дан корень $z_1 = -\sqrt{6} + \sqrt{3}i$.
Второй корень $z_2 = \overline{z_1} = -\sqrt{6} - \sqrt{3}i$.
Найдём коэффициенты $p$ и $q$:
$p = -(z_1 + z_2) = - ((-\sqrt{6} + \sqrt{3}i) + (-\sqrt{6} - \sqrt{3}i)) = -(-\sqrt{6} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.
$q = z_1 \cdot z_2 = (-\sqrt{6} + \sqrt{3}i)(-\sqrt{6} - \sqrt{3}i) = (-\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 6 - 3i^2 = 6 + 3 = 9$.
Искомое уравнение: $z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.
Проверка: решим полученное уравнение.
$z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.
Дискриминант: $D = (2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 24 - 36 = -12$.
Корни уравнения: $z = \frac{-2\sqrt{6} \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{6} \pm i\sqrt{12}}{2} = \frac{-2\sqrt{6} \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{6} \pm i\sqrt{3}$.
Получаем корни $z_1 = -\sqrt{6} + i\sqrt{3}$ и $z_2 = -\sqrt{6} - i\sqrt{3}$. Один из корней совпадает с заданным.
Ответ: $z^2 + 2\sqrt{6}z + 9 = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 647 расположенного на странице 247 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №647 (с. 247), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.