Номер 654, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 7. Извлечение корня из комплексного числа. Алгебраические уравнения - номер 654, страница 251.

Условие.

Решить уравнение (654—655).

654. 1) $z^4 + 81 = 0;$

2) $8z^3 - 27 = 0;$

3) $z^4 = i;$

4) $z^3 = -2i;$

5) $z^3 = -2 + 2i;$

6) $z^4 - i = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Перепишем уравнение в виде $z^4 = -81$. Для нахождения корней необходимо представить комплексное число $-81$ в тригонометрической форме.
Модуль числа $r = |-81| = 81$.
Аргумент $\varphi = \arg(-81) = \pi$, так как число является действительным и отрицательным.
Следовательно, $-81 = 81(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.
Корни n-ой степени из комплексного числа $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ находятся по формуле Муавра:
$z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.
В нашем случае $n=4$, $r=81$, $\varphi=\pi$.
Модуль корней $\sqrt[4]{81} = 3$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
Вычисляем четыре корня для $k = 0, 1, 2, 3$:
При $k=0$: $z_0 = 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = 3\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = 3\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right) = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $k=3$: $z_3 = 3\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $z_0 = \frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $z_1 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + i\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $z_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $z_3 = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

2) Перепишем уравнение как $8z^3 = 27$, откуда $z^3 = \frac{27}{8}$.
Нам нужно найти кубические корни из действительного числа $\frac{27}{8}$.
Представим $\frac{27}{8}$ в тригонометрической форме: $r = \frac{27}{8}$, $\varphi = 0$.
$\frac{27}{8} = \frac{27}{8}(\cos(0) + i\sin(0))$.
Используем формулу Муавра для корней. В данном случае $n=3$, $r=\frac{27}{8}$, $\varphi=0$.
Модуль корней $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{0 + 2\pi k}{3} = \frac{2\pi k}{3}$.
Вычисляем три корня для $k = 0, 1, 2$:
При $k=0$: $z_0 = \frac{3}{2}(\cos(0) + i\sin(0)) = \frac{3}{2}$.
При $k=1$: $z_1 = \frac{3}{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4} + i\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
При $k=2$: $z_2 = \frac{3}{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) = \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{4} - i\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $z_0 = \frac{3}{2}$, $z_1 = -\frac{3}{4} + i\frac{3\sqrt{3}}{4}$, $z_2 = -\frac{3}{4} - i\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

3) Найдём корни 4-й степени из комплексного числа $i$.
Представим $i$ в тригонометрической форме: модуль $r = |i| = 1$, аргумент $\varphi = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$.
$i = 1\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Применяем формулу Муавра для $n=4$, $r=1$, $\varphi=\frac{\pi}{2}$.
Модуль корней $\sqrt[4]{1} = 1$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
Вычисляем четыре корня для $k = 0, 1, 2, 3$:
$z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
$z_1 = \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right)$.
$z_2 = \cos\left(\frac{9\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{8}\right)$.
$z_3 = \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{13\pi}{8}\right)$.
Ответ: $z_k = \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

4) Найдём кубические корни из числа $-2i$.
Представим $-2i$ в тригонометрической форме: модуль $r = |-2i| = 2$, аргумент $\varphi = \arg(-2i) = -\frac{\pi}{2}$.
$-2i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.
Применяем формулу Муавра для $n=3$, $r=2$, $\varphi=-\frac{\pi}{2}$.
Модуль корней $\sqrt[3]{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.
Вычисляем три корня для $k = 0, 1, 2$:
При $k=0$: $z_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right)$.
При $k=1$: $z_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sqrt[3]{2}(0 + i) = i\sqrt[3]{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) = \sqrt[3]{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right)$.
Ответ: $z_0 = \sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)$, $z_1 = i\sqrt[3]{2}$, $z_2 = -\sqrt[3]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$.

5) Найдём кубические корни из числа $-2+2i$.
Представим $-2+2i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-2+2i| = \sqrt{(-2)^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Для аргумента $\varphi$ имеем $\cos\varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\varphi = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что соответствует $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.
$-2+2i = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$.
Используем формулу Муавра для $n=3$, $r=2\sqrt{2}$, $\varphi=\frac{3\pi}{4}$.
Модуль корней $\rho = \sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{3/2}} = \sqrt{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}$.
Вычисляем три корня для $k=0, 1, 2$:
При $k=0$: $z_0 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1+i$.
При $k=1$: $z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = -\frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
При $k=2$: $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{19\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{19\pi}{12}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} - i\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} - i\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
Ответ: $z_0 = 1+i$, $z_1 = -\frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $z_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} - i\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

6) Перепишем уравнение как $z^4 = 1+i$.
Найдём корни 4-й степени из числа $1+i$.
Представим $1+i$ в тригонометрической форме: модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Для аргумента $\varphi$ имеем $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что соответствует $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
$1+i = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$.
Применяем формулу Муавра для $n=4$, $r=\sqrt{2}$, $\varphi=\frac{\pi}{4}$.
Модуль корней $\rho = \sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[8]{2}$.
Аргументы корней $\theta_k = \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}$.
Вычисляем четыре корня для $k=0, 1, 2, 3$:
$z_0 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{16}\right)\right)$.
$z_1 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{16}\right)\right)$.
$z_2 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{17\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{17\pi}{16}\right)\right)$.
$z_3 = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{25\pi}{16}\right) + i\sin\left(\frac{25\pi}{16}\right)\right)$.
Ответ: $z_k = \sqrt[8]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.