Номер 661, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 661, страница 251.

Условие.

661. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

1) $3(\cos 130^\circ + i \sin 130^\circ)(\cos 140^\circ + i \sin 140^\circ);$

2) $(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}) \cdot \sqrt{3} (\cos (-\frac{\pi}{12}) + i \sin (-\frac{\pi}{12}));$

3) $\frac{\cos 50^\circ + i \sin 50^\circ}{2(\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ)};$

4) $\frac{2(\cos (-\frac{5\pi}{12}) + i \sin (-\frac{5\pi}{12}))}{\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{12}) + i \sin (-\frac{\pi}{12}))}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для умножения двух комплексных чисел $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$.
В данном примере: $3(\cos 130^\circ + i\sin 130^\circ)(\cos 140^\circ + i\sin 140^\circ)$.
Первое число: $z_1 = 3(\cos 130^\circ + i\sin 130^\circ)$, где модуль $r_1 = 3$ и аргумент $\varphi_1 = 130^\circ$.
Второе число: $z_2 = \cos 140^\circ + i\sin 140^\circ$, где модуль $r_2 = 1$ и аргумент $\varphi_2 = 140^\circ$.
Выполним умножение:
$3 \cdot 1 (\cos(130^\circ + 140^\circ) + i\sin(130^\circ + 140^\circ)) = 3(\cos 270^\circ + i\sin 270^\circ)$.
Так как $\cos 270^\circ = 0$ и $\sin 270^\circ = -1$, то результат в алгебраической форме:
$3(0 + i(-1)) = -3i$.
Ответ: $3(\cos 270^\circ + i\sin 270^\circ) = -3i$.

2) Выполним умножение $(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}) \cdot \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$.
Первое число: $z_1 = \cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}$, где $r_1 = 1$, $\varphi_1 = \frac{5\pi}{6}$.
Второе число: $z_2 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$, где $r_2 = \sqrt{3}$, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{12}$.
Перемножим модули и сложим аргументы:
$r = r_1 r_2 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$.
Результат в тригонометрической форме: $\sqrt{3}(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4})$.
Так как $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то результат в алгебраической форме:
$\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\sqrt{3}(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.

3) Для деления двух комплексных чисел $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ на $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ в тригонометрической форме их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$.
В данном примере: $\frac{\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ}{2(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)}$.
Делимое: $z_1 = \cos 50^\circ + i\sin 50^\circ$, где $r_1 = 1$, $\varphi_1 = 50^\circ$.
Делитель: $z_2 = 2(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ)$, где $r_2 = 2$, $\varphi_2 = 20^\circ$.
Выполним деление:
$\frac{1}{2}(\cos(50^\circ - 20^\circ) + i\sin(50^\circ - 20^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)$.
Так как $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то результат в алгебраической форме:
$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} + i\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i$.

4) Выполним деление $\frac{2(\cos(-\frac{5\pi}{12}) + i\sin(-\frac{5\pi}{12}))}{\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))}$.
Делимое: $z_1 = 2(\cos(-\frac{5\pi}{12}) + i\sin(-\frac{5\pi}{12}))$, где $r_1 = 2$, $\varphi_1 = -\frac{5\pi}{12}$.
Делитель: $z_2 = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$, где $r_2 = \sqrt{2}$, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{12}$.
Разделим модули и вычтем аргументы:
$r = \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$\varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = -\frac{5\pi}{12} - (-\frac{\pi}{12}) = -\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = -\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3}$.
Результат в тригонометрической форме: $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.
Так как $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то результат в алгебраической форме:
$\sqrt{2}(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.