Номер 667, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 667, страница 252.

Условие.

667. Решить уравнение:

1) $z^2 - 2z + 5 = 0$;

2) $z^2 + 10z + 26 = 0$;

3) $5z^2 + 6z + 5 = 0$;

4) $2z^2 + 3z + 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения квадратного уравнения $z^2 - 2z + 5 = 0$ воспользуемся стандартной формулой для нахождения корней. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=5$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 4i}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$.
Таким образом, корни уравнения: $z_1 = 1 + 2i$ и $z_2 = 1 - 2i$.
Ответ: $z_{1,2} = 1 \pm 2i$.

2) Решим уравнение $z^2 + 10z + 26 = 0$. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=10$, $c=26$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-4} = 2i$.
Найдем корни по формуле:
$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 2i}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 2i}{2} = -5 \pm i$.
Корни уравнения: $z_1 = -5 + i$ и $z_2 = -5 - i$.
Ответ: $z_{1,2} = -5 \pm i$.

3) Решим уравнение $5z^2 + 6z + 5 = 0$. Коэффициенты: $a=5$, $b=6$, $c=5$.
Вычислим дискриминант. Для уравнений с четным вторым коэффициентом удобно использовать формулу для $D/4$: $D/4 = (b/2)^2 - ac$.
$D/4 = (6/2)^2 - 5 \cdot 5 = 3^2 - 25 = 9 - 25 = -16$.
Корни находим по формуле $z_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$:
$z_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-16}}{5} = \frac{-3 \pm 4i}{5} = -\frac{3}{5} \pm \frac{4}{5}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -0.6 + 0.8i$ и $z_2 = -0.6 - 0.8i$.
Ответ: $z_{1,2} = -\frac{3}{5} \pm \frac{4}{5}i$.

4) Решим уравнение $2z^2 + 3z + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=2$, $b=3$, $c=3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{-15} = i\sqrt{15}$.
Найдем корни по формуле:
$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm i\sqrt{15}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{15}}{4} = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{15}}{4}i$.
Корни уравнения: $z_1 = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{15}}{4}i$ и $z_2 = -\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{15}}{4}i$.
Ответ: $z_{1,2} = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{15}}{4}i$.