Номер 673, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 673, страница 252.

Условие.

673. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если один из его корней равен:

1) $\sqrt{3} - \sqrt{5}i$;

2) $\frac{3-2i}{2+3i}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет вид $z^2 + pz + q = 0$, где коэффициенты $p$ и $q$ являются действительными числами ($p, q \in \mathbb{R}$).

Важным свойством таких уравнений является то, что если один из корней является комплексным числом $z_1 = a + bi$ (где $b \neq 0$), то второй корень $z_2$ обязательно будет его комплексно сопряжённым числом, то есть $z_2 = \overline{z_1} = a - bi$.

Согласно теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения $z^2 + pz + q = 0$ справедливы следующие соотношения между корнями $z_1, z_2$ и коэффициентами:
$z_1 + z_2 = -p$
$z_1 \cdot z_2 = q$

Используя эти соотношения, можно составить уравнение, зная его корни: $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0$.

1)

Дан один из корней уравнения: $z_1 = \sqrt{3} - \sqrt{5}i$.

Поскольку по условию коэффициенты уравнения действительные, второй корень $z_2$ должен быть комплексно сопряжённым к $z_1$: $z_2 = \overline{\sqrt{3} - \sqrt{5}i} = \sqrt{3} + \sqrt{5}i$.

Теперь найдём сумму и произведение корней.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5}i) + (\sqrt{3} + \sqrt{5}i) = 2\sqrt{3}$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (\sqrt{3} - \sqrt{5}i)(\sqrt{3} + \sqrt{5}i) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}i)^2 = 3 - (5 \cdot i^2) = 3 - 5(-1) = 3 + 5 = 8$.

Теперь подставим найденные значения суммы и произведения в формулу уравнения $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0$: $z^2 - (2\sqrt{3})z + 8 = 0$.

Ответ: $z^2 - 2\sqrt{3}z + 8 = 0$.

2)

Дан один из корней уравнения: $z_1 = \frac{3 - 2i}{2 + 3i}$.

Сначала необходимо упростить это комплексное число, приведя его к стандартному виду $a + bi$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю, то есть на $2 - 3i$: $z_1 = \frac{3 - 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 - 2i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{3 \cdot 2 - 3 \cdot 3i - 2i \cdot 2 + (-2i)(-3i)}{2^2 - (3i)^2} = \frac{6 - 9i - 4i + 6i^2}{4 - 9i^2} = \frac{6 - 13i - 6}{4 - 9(-1)} = \frac{-13i}{4 + 9} = \frac{-13i}{13} = -i$.

Итак, один из корней равен $z_1 = -i$.

Второй корень $z_2$ будет комплексно сопряжённым к $z_1$: $z_2 = \overline{-i} = \overline{0 - i} = 0 + i = i$.

Найдём сумму и произведение корней.

Сумма корней: $z_1 + z_2 = -i + i = 0$.

Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = (-i)(i) = -i^2 = -(-1) = 1$.

Подставим найденные значения в формулу $z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0$: $z^2 - (0)z + 1 = 0$.

Ответ: $z^2 + 1 = 0$.