Номер 676, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Упражнения к главе VII - номер 676, страница 253.

Условие.

676. Решить систему уравнений:

1) $$\begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i, \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} z^2 + |z| = 0, \\ \bar{z} = -4z. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система линейных уравнений с комплексными переменными:

$ \begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i, \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i; \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $z_1$:

$z_1 = 1 + i - 2z_2$

Подставим это выражение для $z_1$ во второе уравнение системы:

$3(1 + i - 2z_2) + iz_2 = 2 - 3i$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 + 3i - 6z_2 + iz_2 = 2 - 3i$

Сгруппируем члены, содержащие $z_2$:

$z_2(i - 6) = 2 - 3i - 3 - 3i$

$z_2(-6 + i) = -1 - 6i$

Теперь выразим $z_2$:

$z_2 = \frac{-1 - 6i}{-6 + i} = \frac{-(1 + 6i)}{-(6 - i)} = \frac{1 + 6i}{6 - i}$

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю число, то есть на $6 + i$:

$z_2 = \frac{(1 + 6i)(6 + i)}{(6 - i)(6 + i)} = \frac{6 + i + 36i + 6i^2}{6^2 - i^2} = \frac{6 + 37i - 6}{36 - (-1)} = \frac{37i}{37} = i$

Итак, мы нашли $z_2 = i$. Теперь найдем $z_1$, подставив значение $z_2$ в выражение для $z_1$:

$z_1 = 1 + i - 2z_2 = 1 + i - 2(i) = 1 + i - 2i = 1 - i$

Проверим найденные значения. Для первого уравнения: $(1 - i) + 2(i) = 1 - i + 2i = 1 + i$. Равенство выполняется. Для второго уравнения: $3(1 - i) + i(i) = 3 - 3i + i^2 = 3 - 3i - 1 = 2 - 3i$. Равенство также выполняется.

Ответ: $z_1 = 1 - i, z_2 = i$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} z^2 + |z| = 0, \\ \bar{z} = -4z. \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение системы: $\bar{z} = -4z$.

Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда сопряженное число $\bar{z} = x - iy$. Подставим эти выражения в уравнение:

$x - iy = -4(x + iy)$

$x - iy = -4x - 4iy$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их:

Действительная часть: $x = -4x \implies 5x = 0 \implies x = 0$.

Мнимая часть: $-y = -4y \implies 3y = 0 \implies y = 0$.

Таким образом, единственным решением второго уравнения является $z = 0 + 0i = 0$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это решение первому уравнению системы $z^2 + |z| = 0$.

Подставим $z = 0$ в первое уравнение:

$0^2 + |0| = 0 + 0 = 0$

Равенство $0 = 0$ является верным. Следовательно, $z = 0$ является решением системы.

Поскольку второе уравнение имеет только одно решение $z=0$, то и вся система может иметь только это решение.

Ответ: $z = 0$.