Номер 676, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 676, страница 253.
№676 (с. 253)
Условие. №676 (с. 253)
скриншот условия

676. Решить систему уравнений:
1) $$\begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i, \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} z^2 + |z| = 0, \\ \bar{z} = -4z. \end{cases}$$
Решение 1. №676 (с. 253)


Решение 2. №676 (с. 253)

Решение 3. №676 (с. 253)
1)
Дана система линейных уравнений с комплексными переменными:
$ \begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i, \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i; \end{cases} $
Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $z_1$:
$z_1 = 1 + i - 2z_2$
Подставим это выражение для $z_1$ во второе уравнение системы:
$3(1 + i - 2z_2) + iz_2 = 2 - 3i$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3 + 3i - 6z_2 + iz_2 = 2 - 3i$
Сгруппируем члены, содержащие $z_2$:
$z_2(i - 6) = 2 - 3i - 3 - 3i$
$z_2(-6 + i) = -1 - 6i$
Теперь выразим $z_2$:
$z_2 = \frac{-1 - 6i}{-6 + i} = \frac{-(1 + 6i)}{-(6 - i)} = \frac{1 + 6i}{6 - i}$
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю число, то есть на $6 + i$:
$z_2 = \frac{(1 + 6i)(6 + i)}{(6 - i)(6 + i)} = \frac{6 + i + 36i + 6i^2}{6^2 - i^2} = \frac{6 + 37i - 6}{36 - (-1)} = \frac{37i}{37} = i$
Итак, мы нашли $z_2 = i$. Теперь найдем $z_1$, подставив значение $z_2$ в выражение для $z_1$:
$z_1 = 1 + i - 2z_2 = 1 + i - 2(i) = 1 + i - 2i = 1 - i$
Проверим найденные значения. Для первого уравнения: $(1 - i) + 2(i) = 1 - i + 2i = 1 + i$. Равенство выполняется. Для второго уравнения: $3(1 - i) + i(i) = 3 - 3i + i^2 = 3 - 3i - 1 = 2 - 3i$. Равенство также выполняется.
Ответ: $z_1 = 1 - i, z_2 = i$.
2)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} z^2 + |z| = 0, \\ \bar{z} = -4z. \end{cases} $
Рассмотрим второе уравнение системы: $\bar{z} = -4z$.
Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда сопряженное число $\bar{z} = x - iy$. Подставим эти выражения в уравнение:
$x - iy = -4(x + iy)$
$x - iy = -4x - 4iy$
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их:
Действительная часть: $x = -4x \implies 5x = 0 \implies x = 0$.
Мнимая часть: $-y = -4y \implies 3y = 0 \implies y = 0$.
Таким образом, единственным решением второго уравнения является $z = 0 + 0i = 0$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это решение первому уравнению системы $z^2 + |z| = 0$.
Подставим $z = 0$ в первое уравнение:
$0^2 + |0| = 0 + 0 = 0$
Равенство $0 = 0$ является верным. Следовательно, $z = 0$ является решением системы.
Поскольку второе уравнение имеет только одно решение $z=0$, то и вся система может иметь только это решение.
Ответ: $z = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 676 расположенного на странице 253 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №676 (с. 253), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.