Номер 681, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Упражнения к главе VII - номер 681, страница 253.

Условие.

681. На комплексной плоскости даны точки $z_1$, $z_2$, $z_3$, являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ на комплексной плоскости являются вершинами треугольника. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом. Наша задача — найти комплексное число $z_c$, которое соответствует этой точке.

Рассмотрим медиану, проведенную из вершины $z_1$ к середине противоположной стороны (отрезка, соединяющего точки $z_2$ и $z_3$). Комплексное число, соответствующее середине отрезка с концами в точках $z_2$ и $z_3$, находится как их среднее арифметическое (полусумма):

$z_m = \frac{z_2 + z_3}{2}$

Из геометрии известно, что центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, искомая точка $z_c$ делит отрезок, соединяющий вершину $z_1$ и середину противоположной стороны $z_m$, в отношении 2:1.

Для нахождения комплексного числа $z_c$ воспользуемся формулой для точки, делящей отрезок в заданном отношении. Точка, которая делит отрезок с концами в точках $a$ и $b$ в отношении $k:l$, имеет координату $\frac{l \cdot a + k \cdot b}{k + l}$. В нашем случае $a=z_1$, $b=z_m$, и отношение равно 2:1, то есть $k=2$ и $l=1$.

Подставляя наши значения в формулу, получаем:

$z_c = \frac{1 \cdot z_1 + 2 \cdot z_m}{1 + 2} = \frac{z_1 + 2z_m}{3}$

Теперь подставим в это выражение ранее найденное значение для $z_m$:

$z_c = \frac{z_1 + 2 \cdot \left(\frac{z_2 + z_3}{2}\right)}{3}$

Упростив выражение в числителе, получим окончательную формулу:

$z_c = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$

Таким образом, точка пересечения медиан треугольника на комплексной плоскости соответствует комплексному числу, равному среднему арифметическому комплексных чисел, соответствующих его вершинам.

Ответ: Точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках $z_1$, $z_2$, $z_3$ на комплексной плоскости соответствует комплексному числу $z_c = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.