Номер 681, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 681, страница 253.
№681 (с. 253)
Условие. №681 (с. 253)
скриншот условия

681. На комплексной плоскости даны точки $z_1$, $z_2$, $z_3$, являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан.
Решение 1. №681 (с. 253)

Решение 2. №681 (с. 253)

Решение 3. №681 (с. 253)
Точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ на комплексной плоскости являются вершинами треугольника. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом. Наша задача — найти комплексное число $z_c$, которое соответствует этой точке.
Рассмотрим медиану, проведенную из вершины $z_1$ к середине противоположной стороны (отрезка, соединяющего точки $z_2$ и $z_3$). Комплексное число, соответствующее середине отрезка с концами в точках $z_2$ и $z_3$, находится как их среднее арифметическое (полусумма):
$z_m = \frac{z_2 + z_3}{2}$
Из геометрии известно, что центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, искомая точка $z_c$ делит отрезок, соединяющий вершину $z_1$ и середину противоположной стороны $z_m$, в отношении 2:1.
Для нахождения комплексного числа $z_c$ воспользуемся формулой для точки, делящей отрезок в заданном отношении. Точка, которая делит отрезок с концами в точках $a$ и $b$ в отношении $k:l$, имеет координату $\frac{l \cdot a + k \cdot b}{k + l}$. В нашем случае $a=z_1$, $b=z_m$, и отношение равно 2:1, то есть $k=2$ и $l=1$.
Подставляя наши значения в формулу, получаем:
$z_c = \frac{1 \cdot z_1 + 2 \cdot z_m}{1 + 2} = \frac{z_1 + 2z_m}{3}$
Теперь подставим в это выражение ранее найденное значение для $z_m$:
$z_c = \frac{z_1 + 2 \cdot \left(\frac{z_2 + z_3}{2}\right)}{3}$
Упростив выражение в числителе, получим окончательную формулу:
$z_c = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$
Таким образом, точка пересечения медиан треугольника на комплексной плоскости соответствует комплексному числу, равному среднему арифметическому комплексных чисел, соответствующих его вершинам.
Ответ: Точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках $z_1$, $z_2$, $z_3$ на комплексной плоскости соответствует комплексному числу $z_c = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 681 расположенного на странице 253 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №681 (с. 253), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.