Номер 1, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 1, страница 254.

Условие.

1. Как определяется равенство комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Равенство двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, определяется на основе равенства их действительных и мнимых частей.

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид $z = a + bi$, где $a$ — это действительная (вещественная) часть числа (обозначается как $a = \text{Re}(z)$), $b$ — это мнимая часть числа (обозначается как $b = \text{Im}(z)$), а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$.

Рассмотрим два комплексных числа $z_1$ и $z_2$, записанных в алгебраической форме:

$z_1 = a_1 + b_1i$

$z_2 = a_2 + b_2i$

Определение

Два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ называются равными ($z_1 = z_2$) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и одновременно равны их мнимые части.

Математически это условие записывается в виде системы двух равенств для действительных чисел: $$ a_1 + b_1i = a_2 + b_2i \iff \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 = b_2 \end{cases} $$ Таким образом, одно равенство в комплексных числах эквивалентно системе двух равенств в действительных числах.

Пример

Найдем действительные числа $x$ и $y$ из уравнения $(2x - 4) + (y + 5)i = 10 - 3i$.

Согласно определению равенства комплексных чисел, мы должны приравнять действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения.

Приравниваем действительные части:

$2x - 4 = 10$

Приравниваем мнимые части:

$y + 5 = -3$

Теперь решим полученные уравнения:

$2x = 10 + 4 \implies 2x = 14 \implies x = 7$

$y = -3 - 5 \implies y = -8$

Следовательно, исходное равенство выполняется при $x=7$ и $y=-8$.

Ответ: Два комплексных числа, записанных в алгебраической форме $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$, являются равными тогда и только тогда, когда их действительные части равны ($a_1 = a_2$) и их мнимые части равны ($b_1 = b_2$).