Номер 8, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 8, страница 254.

Условие.

8. Как геометрически интерпретируются комплексные числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Комплексные числа можно геометрически интерпретировать на двумерной координатной плоскости, которая называется комплексной плоскостью (или плоскостью Аргана-Гаусса).

В этой интерпретации каждому комплексному числу вида $z = a + bi$ (где $a$ и $b$ — действительные числа) ставится в соответствие точка с координатами $(a, b)$ на этой плоскости.

• Горизонтальная ось (ось абсцисс) называется действительной осью. На ней откладывается действительная часть числа, $Re(z) = a$.
• Вертикальная ось (ось ординат) называется мнимой осью. На ней откладывается мнимая часть числа, $Im(z) = b$.

Таким образом, комплексное число $z = a + bi$ можно рассматривать двумя способами:
1. Как точку $M$ с координатами $(a, b)$ на комплексной плоскости.
2. Как вектор (радиус-вектор) $\vec{OM}$, проведенный из начала координат $O(0, 0)$ в точку $M(a, b)$.

Эта геометрическая модель позволяет наглядно представить не только сами числа, но и операции над ними.

Модуль и аргумент комплексного числа

Геометрическая интерпретация особенно полезна при использовании тригонометрической формы комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

• Модуль комплексного числа, $|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$, геометрически представляет собой длину вектора $\vec{OM}$ или, что то же самое, расстояние от начала координат до точки $M$.
• Аргумент комплексного числа, $\arg(z) = \varphi$, геометрически представляет собой угол между положительным направлением действительной оси и вектором $\vec{OM}$, отсчитываемый против часовой стрелки.

Геометрический смысл операций над комплексными числами

1. Сложение и вычитание
Сложение двух комплексных чисел $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ соответствует сложению их векторов. Вектор суммы $z_1 + z_2$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $z_1$ и $z_2$ как на сторонах (сложение по правилу параллелограмма). Вычитание $z_1 - z_2$ интерпретируется как сложение векторов $z_1$ и $(-z_2)$, где вектор $(-z_2)$ противоположен вектору $z_2$.

2. Умножение
При умножении двух комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ их модули перемножаются, а аргументы складываются:
$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
$\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$
Геометрически умножение числа $z_1$ на число $z_2$ означает растяжение вектора $z_1$ в $|z_2|$ раз и его поворот на угол $\arg(z_2)$ против часовой стрелки. Например, умножение на мнимую единицу $i$ (у которой $|i|=1, \arg(i)=\pi/2$) соответствует повороту вектора на $90^\circ$ против часовой стрелки.

3. Деление
При делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:
$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$
$\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$
Геометрически деление числа $z_1$ на число $z_2$ означает сжатие (или растяжение) вектора $z_1$ в $1/|z_2|$ раз и его поворот на угол $\arg(z_2)$ по часовой стрелке.

4. Комплексное сопряжение
Переход от числа $z = a + bi$ к сопряженному ему числу $\bar{z} = a - bi$ геометрически означает симметричное отражение точки (или вектора), соответствующей числу $z$, относительно действительной оси.

Ответ: Комплексные числа геометрически интерпретируются как точки или радиус-векторы на координатной плоскости (комплексной плоскости), где действительная часть откладывается по оси абсцисс, а мнимая — по оси ординат. Арифметические операции над комплексными числами соответствуют геометрическим преобразованиям этих точек или векторов: сложение — сложению векторов по правилу параллелограмма, а умножение — комбинации растяжения (изменения длины вектора) и поворота.