Номер 9, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Вопросы к главе VII - номер 9, страница 254.

Условие.

9. Каково взаимное расположение на комплексной плоскости чисел:

а) $z$ и $\bar{z}$;

б) $z$ и $(-z)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

а) z и z̄

Рассмотрим произвольное комплексное число $z$ в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ — это действительная часть числа ($x = \text{Re}(z)$), а $y$ — мнимая часть ($y = \text{Im}(z)$). На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Комплексно-сопряженное число $z̄$ (читается "z с чертой") получается из числа $z$ заменой знака его мнимой части на противоположный: $z̄ = x - iy$. Этому числу на комплексной плоскости соответствует точка с координатами $(x, -y)$.

Сравним координаты точек $(x, y)$ и $(x, -y)$. У них одинаковая действительная часть (координата по оси абсцисс) и противоположные по знаку мнимые части (координаты по оси ординат). Такое расположение точек означает, что они симметричны друг другу относительно оси абсцисс. В терминах комплексной плоскости ось абсцисс называется действительной осью.

Ответ: Точки, изображающие на комплексной плоскости числа $z$ и $z̄$, симметричны относительно действительной оси.

б) z и (-z)

Возьмем то же комплексное число $z = x + iy$, которому соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Число $-z$, противоположное числу $z$, равно $-(x + iy) = -x - iy$. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-x, -y)$.

Сравним координаты точек $(x, y)$ и $(-x, -y)$. У них противоположны по знаку как действительные части (координаты по оси абсцисс), так и мнимые части (координаты по оси ординат). Такое расположение точек означает, что они симметричны друг другу относительно начала координат (точки $(0, 0)$). Это также можно интерпретировать как поворот точки $z$ на 180° ($π$ радиан) вокруг начала координат.

Ответ: Точки, изображающие на комплексной плоскости числа $z$ и $-z$, симметричны относительно начала координат.