Номер 16, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Вопросы к главе VII - номер 16, страница 255.

Условие.

16. Как производится умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Арифметические операции над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент, производятся по определенным правилам, которые значительно упрощают вычисления по сравнению с алгебраической формой.

Рассмотрим два комплексных числа: $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$.

Умножение

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Ответ: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Деление

При делении одного комплексного числа на другое (при условии, что делитель не равен нулю) их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя.

Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$

Возведение в степень

Возведение комплексного числа в натуральную степень $n$ осуществляется по формуле Муавра. Модуль числа возводится в степень $n$, а аргумент умножается на $n$. Эта формула является следствием правила умножения.

Ответ: $z^n = [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$

Извлечение корня

Корень $n$-ой степени из комплексного числа имеет ровно $n$ различных значений. Все эти корни имеют одинаковый модуль, равный арифметическому корню $n$-ой степени из модуля исходного числа. Аргументы этих корней находятся по специальной формуле.

Для нахождения всех $n$ значений корня используется формула, где $k$ принимает целые значения от $0$ до $n-1$.

Ответ: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.