Номер 16, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 16, страница 255.
№16 (с. 255)
Условие. №16 (с. 255)
скриншот условия

16. Как производится умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?
Решение 1. №16 (с. 255)

Решение 2. №16 (с. 255)

Решение 3. №16 (с. 255)
Арифметические операции над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент, производятся по определенным правилам, которые значительно упрощают вычисления по сравнению с алгебраической формой.
Рассмотрим два комплексных числа: $z_1 = r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)$.
Умножение
При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Ответ: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$
Деление
При делении одного комплексного числа на другое (при условии, что делитель не равен нулю) их модули делятся, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя.
Ответ: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))$
Возведение в степень
Возведение комплексного числа в натуральную степень $n$ осуществляется по формуле Муавра. Модуль числа возводится в степень $n$, а аргумент умножается на $n$. Эта формула является следствием правила умножения.
Ответ: $z^n = [r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$
Извлечение корня
Корень $n$-ой степени из комплексного числа имеет ровно $n$ различных значений. Все эти корни имеют одинаковый модуль, равный арифметическому корню $n$-ой степени из модуля исходного числа. Аргументы этих корней находятся по специальной формуле.
Для нахождения всех $n$ значений корня используется формула, где $k$ принимает целые значения от $0$ до $n-1$.
Ответ: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 255 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16 (с. 255), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.