Номер 10, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 10, страница 254.

Условие.

10. Что называется модулем комплексного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Модулем комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ – его действительная часть ($Re(z)$), а $b$ – мнимая часть ($Im(z)$), называется неотрицательное действительное число, которое обозначается как $|z|$ или $r$.

С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа – это расстояние от начала координат $(0, 0)$ до точки $(a, b)$, которая представляет это число на комплексной плоскости. Таким образом, модуль является длиной радиус-вектора, проведенного из начала координат в эту точку.

Для вычисления модуля комплексного числа, заданного в алгебраической форме $z = a + bi$, используется формула, которая следует из теоремы Пифагора:$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$Например, для комплексного числа $z = 3 - 4i$, где $a=3$ и $b=-4$, модуль будет равен:$$|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Модуль также тесно связан с понятием комплексно-сопряженного числа. Для числа $z = a + bi$ сопряженным является $\bar{z} = a - bi$. Произведение числа на его сопряженное всегда равно квадрату его модуля:$$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$$Соответственно, $|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$.

В тригонометрической форме записи комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, множитель $r$ и представляет собой модуль этого числа.

Ответ: Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется расстояние от начала координат до точки $(a, b)$ на комплексной плоскости, которое вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.