Номер 15, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 15, страница 255.

Условие.

15. Что называется корнем степени $n (n > 1, n \in N)$ из комплексного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Корнем степени $n$ (где $n > 1, n \in \mathbb{N}$) из комплексного числа $z$ называется любое комплексное число $w$, которое удовлетворяет уравнению $w^n = z$.

Для нахождения всех корней $n$-ой степени из комплексного числа $z$ его удобнее всего представить в тригонометрической или показательной форме. Пусть дано ненулевое комплексное число $z$ в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль числа $z$, а $\varphi = \arg(z)$ — один из его аргументов.

Искомый корень $w$ также будем искать в тригонометрической форме: $w = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$, где $\rho = |w|$ — модуль корня, а $\theta = \arg(w)$ — его аргумент.

По определению корня, должно выполняться равенство $w^n = z$. Возведем $w$ в степень $n$ по формуле Муавра: $w^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.

Теперь приравняем выражения для $w^n$ и $z$: $\rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а их аргументы отличаются на величину, кратную $2\pi$. Это позволяет составить систему уравнений для нахождения $\rho$ и $\theta$: $$ \begin{cases} \rho^n = r \\ n\theta = \varphi + 2\pi k \end{cases} $$ где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Решая эту систему, находим модуль и аргумент для корня $w$: $\rho = \sqrt[n]{r} = \sqrt[n]{|z|}$ (здесь $\sqrt[n]{r}$ — это арифметический корень, то есть положительное действительное число). $\theta_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$.

Придавая $k$ последовательные целые значения $0, 1, 2, \dots, n-1$, мы получаем ровно $n$ различных значений для аргумента $\theta_k$, и, следовательно, $n$ различных корней. При других целых значениях $k$ значения корней начинают повторяться, поскольку их аргументы будут отличаться на $2\pi$ (например, значение для $k=n$ совпадает со значением для $k=0$).

Таким образом, для любого ненулевого комплексного числа $z$ существует ровно $n$ различных корней $n$-ой степени. Все они вычисляются по формуле: $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

В показательной форме, если $z = re^{i\varphi}$, то формула для корней выглядит так: $w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\varphi + 2\pi k}{n}}$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Геометрически все $n$ корней $n$-ой степени из комплексного числа $z$ лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $\rho = \sqrt[n]{|z|}$ и являются вершинами правильного $n$-угольника.

Ответ: Корнем степени $n$ ($n>1, n \in \mathbb{N}$) из комплексного числа $z$ называется такое комплексное число $w$, для которого выполняется равенство $w^n = z$. Для любого ненулевого комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ существует ровно $n$ различных корней, которые находятся по формуле $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k$ принимает целые значения от $0$ до $n-1$.