Номер 3, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Проверь себя! - номер 3, страница 255.

Условие.

3. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1) $-1 + i\sqrt{3}$;

2) $\sin \frac{\pi}{5} - i\cos \frac{\pi}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Комплексное число в алгебраической форме имеет вид $z = x + iy$. В нашем случае $z = -1 + i\sqrt{3}$, где действительная часть $x = -1$, а мнимая часть $y = \sqrt{3}$.

Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r$ — модуль числа, а $\varphi$ — его аргумент.

Найдем модуль комплексного числа по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем аргумент $\varphi$. Аргумент должен удовлетворять системе уравнений:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{2}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Угол, для которого $\cos\varphi = -1/2$ и $\sin\varphi = \sqrt{3}/2$, равен $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем найденные значения $r$ и $\varphi$ в тригонометрическую форму:
$z = 2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$.

Ответ: $2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$.

2)

Дано комплексное число $z = \sin\frac{\pi}{5} - i\cos\frac{\pi}{5}$.
Действительная часть $x = \sin\frac{\pi}{5}$, мнимая часть $y = -\cos\frac{\pi}{5}$.

Сначала найдем модуль числа $r$:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sin\frac{\pi}{5})^2 + (-\cos\frac{\pi}{5})^2} = \sqrt{\sin^2\frac{\pi}{5} + \cos^2\frac{\pi}{5}}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$r = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем аргумент $\varphi$. Он должен удовлетворять системе:
$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \sin\frac{\pi}{5}$
$\sin\varphi = \frac{y}{r} = -\cos\frac{\pi}{5}$

Чтобы привести эти выражения к стандартному виду, воспользуемся формулами приведения:
$\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$
$\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Применим их к нашей системе:
$\cos\varphi = \sin\frac{\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \cos(\frac{3\pi}{10})$
$\sin\varphi = -\cos\frac{\pi}{5} = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = -\sin(\frac{3\pi}{10})$

Итак, нам нужно найти угол $\varphi$, для которого $\cos\varphi = \cos(\frac{3\pi}{10})$ и $\sin\varphi = -\sin(\frac{3\pi}{10})$.
Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:
$\cos\varphi = \cos(-\frac{3\pi}{10})$
$\sin\varphi = \sin(-\frac{3\pi}{10})$
Отсюда следует, что $\varphi = -\frac{3\pi}{10}$.

Подставляем $r=1$ и $\varphi = -\frac{3\pi}{10}$ в тригонометрическую форму:
$z = 1 \cdot (\cos(-\frac{3\pi}{10}) + i\sin(-\frac{3\pi}{10})) = \cos(-\frac{3\pi}{10}) + i\sin(-\frac{3\pi}{10})$.

Ответ: $\cos(-\frac{3\pi}{10}) + i\sin(-\frac{3\pi}{10})$.