Номер 1, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Проверь себя! - номер 1, страница 255.

Условие.

1. Выполнить действия:

1) $(3 + i) + (5 - 2i);$

2) $(6 - i) - (2 + 3i);$

3) $(7 + i) (10 - i);$

4) $\frac{5 - 2i}{7 + 3i}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сложения комплексных чисел $(3 + i)$ и $(5 - 2i)$ необходимо сложить их действительные и мнимые части по отдельности. Правило сложения: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.
Складываем действительные части: $3 + 5 = 8$.
Складываем мнимые части: $i + (-2i) = (1 - 2)i = -i$.
В результате получаем: $8 - i$.
Ответ: $8 - i$

2) Для вычитания комплексных чисел $(6 - i) - (2 + 3i)$ необходимо вычесть действительные и мнимые части по отдельности. Правило вычитания: $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$.
Вычитаем действительные части: $6 - 2 = 4$.
Вычитаем мнимые части: $-i - 3i = (-1 - 3)i = -4i$.
В результате получаем: $4 - 4i$.
Ответ: $4 - 4i$

3) Для умножения комплексных чисел $(7 + i)$ и $(10 - i)$ используем правило перемножения двучленов (раскрываем скобки), учитывая, что мнимая единица $i$ в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$).
$(7 + i)(10 - i) = 7 \cdot 10 - 7 \cdot i + i \cdot 10 - i \cdot i = 70 - 7i + 10i - i^2$.
Заменяем $i^2$ на $-1$: $70 - 7i + 10i - (-1)$.
Группируем действительные и мнимые части: $(70 + 1) + (-7 + 10)i = 71 + 3i$.
Ответ: $71 + 3i$

4) Для деления комплексных чисел $\frac{5 - 2i}{7 + 3i}$ необходимо умножить числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженное к $7 + 3i$ есть $7 - 3i$.
$\frac{5 - 2i}{7 + 3i} = \frac{(5 - 2i)(7 - 3i)}{(7 + 3i)(7 - 3i)}$.
Вычисляем числитель:
$(5 - 2i)(7 - 3i) = 5 \cdot 7 - 5 \cdot 3i - 2i \cdot 7 + (-2i)(-3i) = 35 - 15i - 14i + 6i^2$.
Так как $i^2 = -1$, получаем: $35 - 29i + 6(-1) = 35 - 29i - 6 = 29 - 29i$.
Вычисляем знаменатель, используя формулу $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$:
$(7 + 3i)(7 - 3i) = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$.
Подставляем полученные значения в дробь: $\frac{29 - 29i}{58}$.
Разделяем на действительную и мнимую части и сокращаем: $\frac{29}{58} - \frac{29}{58}i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$