Номер 14, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 14, страница 254.

Условие.

14. Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для перехода от алгебраической формы комплексного числа $z = a + bi$ к тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ необходимо найти модуль $r$ и аргумент $\varphi$ этого числа.

Шаг 1: Нахождение модуля $r$

Модуль комплексного числа $r$, обозначаемый также $|z|$, представляет собой расстояние от начала координат до точки $(a, b)$ на комплексной плоскости. Он вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора, и всегда является неотрицательным действительным числом.

Формула для нахождения модуля:
$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Шаг 2: Нахождение аргумента $\varphi$

Аргумент $\varphi$, обозначаемый $\arg(z)$, — это угол между положительным направлением действительной оси (оси Ox) и вектором, идущим из начала координат в точку $(a, b)$. Аргумент определяется из системы уравнений:

$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Для однозначного определения угла $\varphi$ (обычно в пределах от $0$ до $2\pi$ или от $-\pi$ до $\pi$) необходимо учитывать знаки действительной части $a$ и мнимой части $b$, которые указывают на четверть, в которой находится число на комплексной плоскости.

Также можно использовать функцию арктангенса $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ (при $a \neq 0$), но с необходимой коррекцией в зависимости от четверти:

• Если $a > 0, b \ge 0$ (I четверть), то $\varphi = \arctan(\frac{b}{a})$.
• Если $a < 0, b \ge 0$ (II четверть), то $\varphi = \pi + \arctan(\frac{b}{a})$.
• Если $a < 0, b < 0$ (III четверть), то $\varphi = \pi + \arctan(\frac{b}{a})$ (для интервала $[0, 2\pi)$) или $\varphi = -\pi + \arctan(\frac{b}{a})$ (для интервала $(-\pi, \pi]$).
• Если $a > 0, b < 0$ (IV четверть), то $\varphi = \arctan(\frac{b}{a})$.

Особые случаи для чисел, лежащих на осях:

• Если $a > 0, b = 0$, то $\varphi = 0$.
• Если $a < 0, b = 0$, то $\varphi = \pi$.
• Если $a = 0, b > 0$, то $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
• Если $a = 0, b < 0$, то $\varphi = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).
• Если $a = 0, b = 0$, то $r=0$, а аргумент не определен.

Шаг 3: Запись числа в тригонометрической форме

Найденные значения модуля $r$ и аргумента $\varphi$ подставляются в стандартный вид тригонометрической формы комплексного числа:

$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$

Пример

Переведем комплексное число $z = -1 - i\sqrt{3}$ из алгебраической формы в тригонометрическую.

В данном случае, действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = -\sqrt{3}$.

1. Находим модуль $r$:

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Находим аргумент $\varphi$:

Вычислим косинус и синус угла:

$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{-1}{2}$

$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Так как и косинус, и синус отрицательны, точка лежит в III четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\varphi = \frac{4\pi}{3}$ (или $\varphi = -\frac{2\pi}{3}$, если брать главный аргумент в интервале $(-\pi, \pi]$).

3. Записываем число в тригонометрической форме:

$z = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$

Ответ: Для перехода от алгебраической формы комплексного числа $z = a + bi$ к тригонометрической $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ необходимо: 1. Вычислить модуль числа по формуле $r = \sqrt{a^2 + b^2}$. 2. Найти аргумент $\varphi$, решив систему уравнений $\cos\varphi = a/r$ и $\sin\varphi = b/r$, и правильно определив четверть по знакам $a$ и $b$. 3. Подставить найденные значения $r$ и $\varphi$ в тригонометрическую форму записи.