Номер 17, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе VII. Глава 7. Комплексные числа - номер 17, страница 255.

Условие.

17. Сформулировать основную теорему алгебры и следствие из неё об алгебраическом уравнении $n$-й степени $(n \geq 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры (также известная как теорема д'Аламбера — Гаусса) утверждает, что любой многочлен (полином) $P_n(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$ степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами ($a_k \in \mathbb{C}, a_n \neq 0$) имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Это означает, что существует такое комплексное число $z_0 \in \mathbb{C}$, для которого выполняется равенство $P_n(z_0) = 0$. Другая формулировка теоремы гласит, что поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ является алгебраически замкнутым.

Ответ: Всякий многочлен от одной переменной степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Следствие из неё об алгебраическом уравнении n-й степени ($n \ge 1$)

Из основной теоремы алгебры, применяя ее последовательно, можно вывести важное следствие. Если многочлен $P_n(z)$ степени $n \ge 1$ имеет корень $z_1$, то по теореме Безу он делится на $(z - z_1)$, то есть $P_n(z) = (z - z_1)Q_{n-1}(z)$, где $Q_{n-1}(z)$ — многочлен степени $n-1$. Применяя к $Q_{n-1}(z)$ основную теорему алгебры, находим его корень $z_2$, и так далее. Повторив эту процедуру $n$ раз, мы представим многочлен в виде произведения $n$ линейных множителей и старшего коэффициента: $P_n(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)$. Числа $z_1, z_2, \dots, z_n$ являются корнями многочлена $P_n(z)$, и некоторые из них могут быть равными. Количество равных корней определяет кратность корня. Таким образом, алгебраическое уравнение $P_n(z) = 0$ имеет ровно $n$ комплексных корней с учетом их кратности.

Ответ: Любое алгебраическое уравнение n-й степени ($n \ge 1$) с комплексными коэффициентами имеет в поле комплексных чисел ровно $n$ корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.