Номер 5, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Проверь себя! - номер 5, страница 255.

Условие.

5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $|z|=3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x$ – действительная часть, а $y$ – мнимая часть комплексного числа. На комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Модуль комплексного числа $|z|$ – это расстояние от начала координат (точки $0+0i$) до точки, изображающей число $z$ на комплексной плоскости. Формула для вычисления модуля:

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Согласно условию задачи, $|z| = 3$. Подставим выражение для модуля в это равенство:

$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$

Чтобы избавиться от знака радикала, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 + y^2})^2 = 3^2$

$x^2 + y^2 = 9$

Это каноническое уравнение окружности в декартовых координатах. Центр этой окружности находится в начале координат $(0, 0)$, а ее радиус $R$ равен $\sqrt{9} = 3$.

Следовательно, множество точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $|z|=3$, — это все точки, удаленные от начала координат на расстояние 3, то есть окружность с центром в точке $z=0$ и радиусом 3.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих данному условию, является окружностью с центром в начале координат и радиусом 3. Уравнение этой окружности в координатах $(x, y)$ имеет вид $x^2 + y^2 = 9$.